Учебное пособие Казань 018 удк

3.2. Построение соотношений для оценки производительности 
Если s устройств системы имеют пиковые производительности 
π
1
,…π
s
и 
работают с загруженностями 
p
1
, 
…,p
s
, то реальная производительность 
системы выражается формулой [2] 

---

28 
r = pπ
, 
(3.1) 
где 
π = π
1
 + ... + π
s
, а 
p
- загруженность системы, определяемая как 
𝑝 = ∑
𝛼
𝑖 
𝑝
𝑖
, 𝛼
𝑖
=
𝜋
𝑖
∑
𝜋
𝑗
𝑠
𝑗=1
𝑠
𝑖=1
(3.2) 
Из (3.1) видно, что для достижения наибольшей реальной 
производительности системы при фиксированном числе устройств необходимо 
обеспечить наиболее полную ее загруженность. Дальнейшее повышение 
производительности достигается увеличением числа устройств. 
Ускорение реализации алгоритма на вычислительной системе из s 
устройств определяется как [2] 
𝑅
𝑠
=
𝑟
𝜋
𝑠
(3.3) 
где 
π
s
- пиковая производительность самого быстродействующего устройства 
системы. Это означает, что наибольшее ускорение - 
s
системы из 
s
устройств 
может достигаться только в случае, когда все устройства системы имеют 
одинаковые пиковые производительности и полностью загружены. Реальное 
ускорение для однородных вычислительных систем, имеющих одинаковую 
производительность устройств, часто определяют также как отношение 
времени решения задачи на одном процессоре - 
T
1
к времени 
T
s
решения той же 
задачи на системе из 
s
таких же процессоров: 
𝑅 =
𝑇
1
𝑇
𝑠
(3.4) 
Это соотношение можно получить также из (3.3) с учетом (3.1), т.к. при 
одинаковой производительности устройств 
p = T
1
/T
s
·s
, 
а π = π
s
 s
. 
Отношение реального ускорения к числу используемых процессоров s: 
𝐸
𝑠
=
𝑅
𝑠
=
𝑇
1
𝑇
𝑠
·𝑠
(3.5) 

---

29 
называют эффективностью системы. Второе равенство в (3.5) показывает, что 
при одинаковой производительности устройств эффективность системы 
совпадает со значением загруженности системы. Далее всюду, где имеет место 
этот случай, под загруженностью системы подразумевается эффективность и 
применяется обозначение, принятое в (3.5). Наилучшие показатели ускорения и 
эффективности - соответственно R=s, E
s
= 1. 
Для анализа производительности вычислительных систем, в которых 
имеют место направленные связи между устройствами, воспользуемся моделью 
в виде ориентированного графа, в котором вершины обозначают устройства, а 
дуги - связи между ними [2]. Предположим, дуга графа системы идет из 
i
-го 
устройства в 
j
-е. Поскольку результат 
i
-го устройства является аргументом 
j
-го, 
количество операций, выполняемых 
j
-м устройством, не может более, чем на 1, 
отличаться от количества операций, реализованных 
i
-м устройством: 
𝑁
𝑖
− 1 ≤ 𝑁
𝑗
≤ 𝑁
𝑖
+ 1
(3.6) 
Допустим, связный граф содержит 
q
дуг. Если 
k
-е устройство за время 
T
выполнило 
N
k
операций, а 
l
-е - N
l
операций, то из (3.6) вытекает, что 
𝑁
𝑙
− 𝑞 ≤ 𝑁
𝑘
≤ 𝑁
𝑙
+ 𝑞
для любых 
𝑘, 𝑙, 1 ≤ 𝑘, 𝑙 ≤ 𝑠
. 
Перенумеруем устройства так, что 
𝜋
1
≤ 𝜋
2
≤ ⋯ ≤ 𝜋
𝑠
. Тогда в 
соответствии с последним неравенством можно записать 
(𝑁
1
− 𝑞)𝑠 + 𝑞 ≤ ∑
𝑁
𝑖
𝑠
𝑖=1
≤ (𝑁
1
+ 𝑞)𝑠 − 𝑞
(3.7)