Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

R
,
3
R
va C[0;1] fazolarda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarga misollar
keltiring.
Mashqlar
1. Agar x
n
→
a va
ρ
(x
n
,y
n
)
→
0 bo‘lsa, u holda y
n
→
a ekanligini isbotlang.
2. Quyidagi funksiyalar ketma-ketligi ko‘rsatilgan fazoda f(x)
≡
0 funksiyaga
yaqinlashadimi?
1) f
n
(x)=
2
2
1
x
n
nx
+
, a) C[0;1]; b) C
1
[0;1];
2) f
n
(x)=xe
–nx
, a) C[0;10]; b) C
1
[0;10];
3) f
n
(x)=
2
2
1
–
8
1
–
2
nx
e
nx
n
, a) C[0;1]; b) C
2
[0;1];
4) f
n
(x)=
n
nx
sin
, a) C[–
π
;
π
]; b) C
1
[-
π
;
π
];
3.
,
,
fazolarda metrikaga nisbatan yaqinlashish bilan birgalikda
koordinatalari bo‘yicha yaqinlashish tushunchasi ham qaraladi. Agar
x
2
n
R
1
n
R
n
∞
R
∞
→
k
lim
(k)
m
=x
m

(m=1,
…

,n) bo‘lsa, u holda (x
(k)
)=((x
(k)
1
, x
(k)
2
,
…
, x
(k)
n
)) nuqtalar ketma-ketligi x=(x
1
,
x
2
,
…
, x
n
) nuqtaga koordinatalar bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi. M
n
=
– 1 2
,
1
n
n
n
n
⎛
⎞
⎜
⎟
+
⎝
⎠

nuqtalar ketma-ketligi koordinatalar bo‘yicha qanday nuqtaga yaqinlashadi? Bu

ketma-ketlik
,
,
fazolarda shu nuqtaga yaqinlashadimi?
2
n
R
1
n
R
n
∞
R
4.
fazoda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning koordinatalar bo‘yicha ham
yaqinlashuvchi va aksincha, koordinatalar bo‘yicha yaqinlashuvchi ketma-
ketlikning metrika bo‘yicha ham yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.
2
n
R

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

5-§. Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar 
5.1. Uzluksiz akslantirish, misollar. (X,
ρ
X
) va (Y,
ρ
Y
) metrik fazolar bo‘lib,
T:X
→
Y akslantirish berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar M to‘plamdagi x
0
nuqtaga X da yaqinlashuvchi bo‘lgan
ixtiyoriy {x
n
}
⊂
M ketma-ketlik uchun ushbu Tx
n
→
Tx
0
munosabat Y da bajarilsa, u
holda T akslantirish x
0
nuqtada uzluksiz deyiladi.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy
ε>0 soni uchun shunday δ>0 son topilib,
ρ
X
(x
0
,x)<
δ

shartni qanoatlantiruvchi barcha x

∈
X lar uchun
ρ
Y
(T(x
0
),T(x))<
ε
tengsizlik
bajarilsa, u holda T akslantirish x
0
nuqtada uzluksiz deyiladi.
3-ta’rif. Agar b=T(x
0
) nuqtaning ixtiyoriy V atrofi uchun X fazoda x
0

nuqtaning T(U)

⊂
V shartni qanoatlantiruvchi U atrofi mavjud bo‘lsa, u holda T
akslantirish x
0
nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu uchala ta’rifning teng kuchliligi, yoki boshqacha aytganda ekvivalentligi
matematik analiz kursidagi funksiya uzluksizligi kabi isbotlanadi.
Misol. C[0;1] fazoni
ga akslantiruvchi T:x
→
x(1) akslantirish ixtiyoriy a
«nuqta»da uzluksiz bo‘ladi, bu yerda x va a «nuqtalar» [0;1] kesmada uzluksiz
funksiyalar.
R
Haqiqatan,
ε>0 son berilgan bo‘lsin. U holda δ=ε deb olamiz. Endi
ρ
C
(a,x)=
|x(t)–a(t)|,
ρ
b
t
a
max
≤
≤
R
(Ta,Tx)=|x(1)–a(1)|
≤

ρ
C

(a,x) bo‘lganligi sababli,
ρ
C
(a,x)<
δ
shartdan
ρ
R
(Ta,Tx)<
ε
tengsizlikning kelib chiqishi ravshan.
C
1
[0;1] fazoni
ga akslantiruvchi T:x
→
x(1) akslantirish
θ
(t)
≡
0 nuqtada
uzluksiz emas.
R
Haqiqatan, x
n
(t)=t
n
ketma-ketlik C
1
[0;1] fazoda
θ
(t)
≡
0 funksiyaga
yaqinlashadi, lekin Tx
n
= x
n
(1)=1, T
θ
=0, demak {Tx
n
} ketma-ketlik T
θ
ga
yaqinlashmaydi.
4-ta’rif. Agar T o‘z aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa,
u holda T uzluksiz akslantirish deyiladi.
Xususan Y=
bo‘lgan holda, uzluksiz akslantirish uzluksiz funksional
deyiladi.