Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями: I = Io + mɑ2, где I – момент инерции тела относительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо момент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ - расстояние между осями.
Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел вращения методом крутильных колебаний.
Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вращающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого определяется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем сообщающий телу обратное движение. Возвращающий момент силы М обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.
Как показывают эксперименты, в области упругих деформаций кручения, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы М на ось вращения z (Мz), т.е.
Мz = - G·φ (16).
Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (11) следует: Мz = Iz· , где = - угловое ускорение, Iz – момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,
Мz = Iz· (17).
Из (16 ) и (17) следует равенство: Iz· = - G·φ. Или
+ = 0 (18)
Уравнение (17) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде
+ω2φ = 0, (19)
где ω2 = (20)
Уравнение (18) соответствует гармоническому осциллятору и описывает его гармонические колебания, в данном случае колебания углового смещения маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (18) следует, что колебания крутильного маятника являются гармоническими φ = φо·Sin(ω·t +α), где φо – амплитуда углового смещения, равная начальному угловому отклонению маятника, а ω- циклическая частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением
ω = (21)
Из уравнений (20) и (21) вытекает рабочая формула экспериментального определения момента инерции Iz для предложенных тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера:
Iz =I= , (22)
Do'stlaringiz bilan baham: |