Учебно-методическое пособие к лабораторной работе №3 Владивосток 2013

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
Каждая из материальных точек вращающегося твердого тела будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. При этом все точки тела в данный момент времени имеют одинако­вую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение.
Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Δm_i, а радиус окружности, по которой она движется, r_i. На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние силы - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на матери­альную точку массы Δm_i, на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие силы и , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направ­лению с касательной к траектории движения частицы, а сила - пер­пендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что враще­ние данной материальной точки обусловлено только касательной составля­ющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутрен­ней и внешней сил. В этом случае для материальной точки Δm_i второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид:
(5)
С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекто­риям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (5) линейную скорость на угловую (v_i=wr_i):
. (6)
Введем в уравнение (6) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую части уравнения (6) на радиус r_i, который по от­ношению к результирующей силе является плечом:
(7)
Тогда получим:
, (8)
г де каждый член в правой части уравнения (8) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое уско­рение вращения материальной точки массы Δm_i относительно оси ( = ) и ее момент инерции ΔI_i относительно этой же оси( =ΔI_i), то уравнение вращательного движения материальной точки относительно оси примет вид:
ΔI_i· = (9)
Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных то­чек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:
. (10)
Суммарный момент внутренних сил равен нулю, так как каждая внут­ренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по вели­чине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент – есть вращающий момент М всех внешних сил, действующих на вращающе­еся тело. Сумма моментов инерции =I определяет момент инерции дан­ного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных вели­чин в уравнение (10) окончательно получим:
I =M. (11)
Уравнение (11) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как = , а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (11) можно записать в виде:
. (12)
Величина Iw=L (13)
называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (13) урав­нение (12) можно записать в виде:
(14)
Уравнения (11-14) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала), принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:
(11^*); (12^*); (13^*); (14^*).
При сравнении уравнений поступательного (1) и вращательного (11-14) движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в урав­нениях стоит ее момент, вместо массы тела – момент его инерции, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент коли­чества движения).
Из уравнений (14) и (14^*) следует, соответственно, уравнение моментов относительно оси и относительно точки:
dL=Mdt (15); (15^*) .
Согласно уравнению моментов относительно оси (15) – изменение мо­мента импульса тела dL относительно неподвижной оси равно моменту им­пульса внешней силы Mdt, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки уравнение моментов (15^*) формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.
Из уравнений (15) и (15^*) вытекает закон сохранения момента им­пульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (15) следует: если суммарный момент всех внешних сил М отно­сительно оси равен нулю (M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).
Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор мо­мента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоян­ным.
В данной лабораторной работе определяются моменты инерции для про­стейших тел вращения. Под телом вращения понимается объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тело вращения всегда имеет ось симметрии. Простейшими примерами тел вращения являются:
шар – образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза;
цилиндр – образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из его сторон;
конус – образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг од­ного из его катетов и т.п.
В рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колеба­ний определяются моменты инерции для тел: сферы, диска, стержня, полого и сплошного цилиндров. Кроме того, экспериментально проверя­ется теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси прохо­дящей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.