Учебно-методический комплекс теоретические основы компьютерной безопасности

T л(τ₂),…, T л(τ_M)} вершин иерархического рубрикатора изоморфно частично упорядоченному множеству тематических рубрик
{τ₁, τ₂,… τ_M}, задаваемому иерархическим рубрикатором.
Доказательство. Поскольку каждая внутренняя вершина классификационного дерева имеет не менее двух сыновей, при условии τ_i ≠ τ_j множества T л(τ_i) и T л(τ_j) отличаются друг от друга хотя бы одной листовой вершиной, т. е. также не совпадают. Отсюда следует, что отображение τ_i → T л(τ_i) биективно.
Покажем далее, что отношение ≤ и отношение несравнимости любых двух произвольных тематических рубрик τ_i и τ_j сохраняются (адекватно воспроизводятся) на их образах, т. е. на множествах T л(τ_i) и T л(τ_j).
Пусть для вершин τ_i и τ_j выполняется τ_i ≤ τ_j (τ_i подчинена τ_j). С учетом подчиненности вершины τ_i вершине τ_j , они обе находятся на одной общей ветви тематического дерева, и листовое тематическое множество
T л(τ_j) охватывает (включает) листовое тематическое множество T л(τ_i). Таким образом, имеем:
T л(τ_i) ⊆ T л(τ_j) ,
что означает доминирование образа τ_j над образом τ_i.
Если вершины τ_i и τ_j несравнимы, т. е. находятся в разных ветвях тематического дерева, то совершенно очевидно, что они не имеют общих подчиненных листовых вершин. Иначе говоря, пересечение их листовых тематических множеств пусто:
T л(τ_i) ∩ T л(τ_j) = ∅ .
Отсюда следует, что в этом случае множества T л(τ_i) и T л(τ_j) несравнимы по отношению включения ⊆.
Из доказанного следует, что отображение τ_i → T л(τ_i) сохраняет рассматриваемые частичные порядки в обе стороны.
Таким образом, данное отображение является изоморфизмом частично упорядоченного множества тематических рубрик на частично упорядоченное множество листовых тематических множеств. ▄
Исходя из изоморфизма множеств {τ₁, τ₂,… τ_M} и {T л(τ₁), T л(τ₂),…
T л(τ_M)}, использование в процедурах принятия решения о доступе или непосредственно тематических рубрик классификатора или их образов в виде соответствующих листовых тематических множеств эквивалентно.
Однако, как уже отмечалось, для полного контроля информационных потоков требуется не просто частичный порядок, а решетка. С этой целью необходимо задать границы для любой пары листовых множеств.
При этом использование простых операций теоретико-множественного объединения и пересечения листовых множеств может приводить к неадекватным результатам, в частности выводить свои результаты за пределы множества листовых множеств вершин рубрикатора. Операция пересечения фактически приводит к необходимости добавления к листовым множествам пустого множества, что по доказанному изоморфизму соответствует добавлению к корневому дереву рубрикатора пустой вершины с замыканием на нее всех листовых вершин. Операция объединения может давать своим результатом множество листовых вершин, которому не найдется по иерархическому отношению родительской внутренней вершины рубрикатора.
Проиллюстрируем данные ситуации на следующем примере. Рассмотрим рубрикатор, приведенный на рис. 2.20. Для рубрик τ₂ и τ₃ имеем: