Туташ мухитлар механикаси маъруза №1

Туташ мухитлар механикаси


МАЪРУЗА № 1
Кириш. Туташ муҳитлар механикаси предмети. Туташ муҳит тушунчаси. ТММнинг асосий гипотезалари. Миқдорларни индексли белгилаш. Тўртбурчакли декарт ва эгри чизиқли координаталар системаси. Ковариант координата базаси.
ТУТАШ МУҲИТ МЕХАНИКАСИНИНГ УМУМИЙ
ХАРАКТЕРИСТИКАСИ. АСОСИЙ ГИПОТЕЗАЛАР

МСС¹да қаттиқ, суюқ ва газ ҳолатидаги жисмларнинг макроскопик нуқтаи назардан ҳаракатлари ўрганилади. Бу фан фундаментал тушунчалар асосида, гипотезалар воситасида яратилган. Механик нуқтаи назардан ўрганилаётган қаттиқ, суюқ ва газ ҳолатидаги жисмлар фазонинг бирор чекли ёки чексиз бўлагини тўла тўкис туташ ҳолда эгаллаган деб фараз қилинади. Фазода олинган исталган геометрик нуқтада туташ муҳит «зарраси» мавжуд деган тушунча киритамиз ва унга асосланамиз.

Табиийки, бу фикрдан сўнг шундай савол туғилиши мумкин: биз барча моддий жисмлар жуда кичик зарралардан, улар молекула ва атомлардан ташкил топган, атомлар эса электронларга ва ядроларга эга деган ва экспериментлар асосида тасдиқланган натижалар нима бўлади, дейишингиз мумкин. Масалан, атом ядросининг радиуси 10^-13 см тартибида, водород молекуласи радиуси 1,36 10^-8 см тартибидадир. Лекин водороднинг асосий массаси унинг ядросида жойлашган.
Маълумки, оддий шароитда (0⁰С ва денгиз юзасидаги атмосфера босимида) 1 см³ ҳаво ҳажмида N2,68710¹⁹ молекула бор. 60 км юқорида эса N810¹⁵, юлдузлар орасидаги муҳитда эса N1 молекула бор дейиш мумкин. Шунингдек, темир учун N8,62210²² 1 см³. Бундан кўриниб турибдики, жисмлар массаси жойлашган ҳажмлар шу жисм эгаллаган ҳажмларнинг ниҳоятда кичик қисмини ташкил этади. Яъни жисмлар «бўшлиқлар»дан иборат. Атом ва молекулалар доимий хаотик ҳаракатда бўладилар. Уларнинг индивидуал ҳаракатини ўрганиш мушкул иш: чунки улар сони, кўриниб турибдики, жуда кўп. Масалан, кислород молекулалари 1 секундда 6,5510⁹ марта тўқнашади, уларнинг ўртача тезлиги v425 м сек атрофида, ҳаракатланувчи бу зарралар ўртасидаги таъсир кучлари ҳам маълум эмас.
Туташ муҳит механикасида реал жисмлар ўрганилганда, амалиёт учун ҳар бир зарранинг траекторияси, тезлиги ва бошқа характеристикалари эмас, балки бу жисм зарралари учун ўртача бўлган характеристикалар керак бўлади.
Реал жисмларнинг ҳаракати ўрганилганда статистик физика методлари ҳам қўлланилади. Статистик методлар билан иш кўрилганда доимо айрим қўшимча гипотезаларга мурожаат қилинадики, буларнинг ҳаммасини ҳам асосли деб бўлавермайди. Иккинчи томондан, статистик метод асосидаги тенгламалар мураккаб кўринишга эга бўлиб, эффектив ечимлар топиш қийин масалага айланади.
Материал жисмлар ҳаракатини ўрганишдаги иккинчи йўл бу - феноменологик макроскопик назариядан иборат. Тажрибадан олинган қонуниятлар ва улар билан мос келадиган гипотезалар асосида кўрилган бу йўл ТММ йўлидир.
Туташ муҳит механикасининг асосий гипотезаси муҳитнинг туташлиги гипотезасидир.
Жисм фазони ёки унинг бўлагини тўла равишда қоплаган деб юқорида айтилган фикр реал жисмлар учун тахминан мос келади. Бу гипотеза ТММнинг асосий гипотезасидир.
Деформацияланувчи жисмлар ташқи кучлар таъсирида ўз ўлчамлари ва формаларини ўзгартирадилар, жисмнинг фикран ажратилган бўлаклари ўртасида кучлар, зўриқишлари, босимлар деб аталувчи механик миқдорлар пайдо бўладики, бу катталиклар фақат ташқи кучларгагина эмас, балки жисм геометрик формасига, муҳитнинг тажрибалар асосида олиниши мумкин бўлган макроскопик хоссаларига хам боғлиқ бўлади. Бу муаммолар ТММда ўрганилади.
Газ, суюқ ёки қаттиқ ҳолатдаги жисмлар, уларнинг аралашмалари турли сабаблар билан фазода ҳаракатланиши ва ҳаракатланиш жараёнида «моддий зарралар» орасидаги масофалар ўзгариши мумкин. Бу ерда шуни яққол кўриш мумкинки, бир томондан туташ муҳит тушунчасини киритмай туриб яхлит, алоҳида моддий жисм тасаввурига эга бўлиш қийин, иккинчи томондан, ҳар қандай туташ муҳит аслида майда зарралардан ташкил топганлиги ва уларда «бўшлиқлар» борлигини таъкидлаш керак. Бу диалектика асосида ечилиши керак бўлган ички зиддият ва унинг тажрибалар асосида маълум масалаларни ҳал этишга хизмат қила оладиган назарияси бўлиб, назариянинг амалда ишлатилишидир.
Фазо ва вақт тушунчалари ҳақида ҳам тўхталиб ўтайлик. Бу тушунчалар назарий механика курсида тўла ва равшан баён этилган. Шунинг учун бу тушунчаларнинг айрим моҳиятлари устидагина тўхтаб ўтамиз.
Фазо деб координаталар деб аталувчи сонлар орқали берилган нуқталар тўпламига айтилади. Агар фазода икки нуқта орасидаги масофа аниқланган бўлса, бу фазо метрик фазо дейилади. агар метрик фазода икки нуқта орасидаги масофа бўлса, бу фазо Евклид фазосидир. Евклид фазосига шу фазо учун умумий бўлган Декарт координаталар системасини киритиш мумкин. Бундай фазода биз ўрганадиган механика - Ньютон механикасидир. Бу фазода жойлашган туташ муҳит унинг иҳтиёрий геометрик нуқтасида мавжуддир.
ТММда абсолют вақт тушунчаси билан иш кўрамиз. Бизнинг вақтимиз барча координата системаларида бир хил ўзгаради.
Шундай қилиб, ТММда муҳит ҳаракати - континиум ҳаракати Евклид фазосида абсолют вақтдан фойдаланиб ўрганилади.
ТММда ўрганилаётган муҳит ҳаракат жараёни давомида нуқталар орасидаги масофалар ўзгариши мумкин. Унинг механикасини ўрганиш кейинги қўлланмамизнинг мазмунини ташкил этади. Ҳаракат давомида муҳит нуқталари орасидаги масофа ўзгармаса, бундай харакат назарий механикада ўрганилади. ТММ усулларини ўзлаштиришдан илгари, бу фан қандай муаммолар билан шуғулланиши доирасига эътибор берайлик. ТММнинг айрим масалалари қуйидагилардан иборат:
1) эластиклик назарияси масалалари;
2) пластиклик назариялари, унинг масалалари;
3) гидростатика масалалари;
4) суюқликда ҳаракатланувчи жисмга суюқликнинг таъсири масалалари;
5) фильтрация масалалари;
6) тўлқин ҳаракати, суюқлик ва қаттиқ жисмларда тўлқиннинг тарқалиш масалалари;
7) газларнинг химик ўзгаришлари бўлаётган ҳолатдаги, портлаш ва ёниш жараёнлари билан бўлган ҳаракатларини ўрганиш масалалари;
8) қаттиқ жисмларнинг атмосфера қалин қатламларига кирганида ёниш ва эриб кетишдан сақлаш масалалари;
9) суюқликнинг турбулент ҳаракати масалалари;
10) магнит гидродинамикаси масалалари;
11) об-ҳавонинг ўзгаришини текшириш йўналиши;
12) биологик механика ва ҳ.к.
ТММнинг усули-математик таҳлил усулларидир. ТММда механик масала ечилиши керак бўлган маълум математик масалага келтирилади ва у ўз навбатида математиканинг ҳам ривожида катта роль ўйнаб келади. ТММда тажриба асосидан олинган ечимлар ҳам муҳим роль ўйнайди. Тажриба математик усуллар асосида олинган ечимларнинггина эмас, балки математик тенгламаларга келтирилгандаги туташ муҳит ҳаракати ва ҳолатини акслантирувчи муносабатларнинг мақсадга мувофоқлик даражасини ҳам кўрсатувчи омил бўлиб хизмат қилади.
1.2-§. ТЕНЗОР АНАЛИЗИ КУРСИГА ДОИР АЙРИМ
ЗАРУР МАСАЛАЛАР

1. 
   Векторнинг контравариант ва ковариант ташкил этувчилари. Йиғиндиларни ифодалашда индекслардан фойдаланиш. Агар ва лар текисликдаги базис векторлар бўлса, аналитик геометриядан маълумки, Декарт координата системасида бўлади. Бунда а¹ ва а² сонларни векторнинг тўғрибурчакли координаталари дейилади. Агар координата системаси тўғри бурчакли бўлмаган координат системасидан иборат бўлса, узунликлар бир хил бирликдан иборат бўлиши шарт бўлмаган ва координаталар ўқлари бўйлаб йўналган базис векторлар сифатида ва ларни белгиласак, векторни 2 хил усулда: вектор учидан координат ўқларига параллел чизиқлар ўтказиб ва вектор учидан координата ўқларига тик чизиқлар ўтказиш орқали аниқлаш мумкин. а¹ ва а² сонлари векторнинг контравариант компоненталари дейилади (1-расм).
   

Шунингдек, қуйидаги муносабатлар ўринли бўлади: , . Бу ердаги a₁ ва a₂ лар ковариант ташкил этувчилар дейилади. Юқоридаги фикрларни умумлаштириб, уч ўлчовли фазо учун ёза оламиз:

Бир ҳадда i индекси икки марта такрорланса, масалан, бўлса, биз уни га тенг деб белгилаб оламиз, яъни _ йигинди маъносида келтириладиган бирҳадли ифодалардаги бу индекслар лотин индекслари бўлиши керак. Грек индекси ишлатилса, айрим бирҳадгина тушунилади: йиғинди тузилмайди, масалан, ифода ва ифодаларнинг бирини ифодалайди. Тушуниш қийин эмаски, ва ҳ.к. ўринли бўлади. Бундай индексларга фарқсиз индекс (немой индекс) дейилади.

Вазифа. Қуйидаги ифодаларни тўла кўринишда ёзинг: , .
Шундай қилиб, умуман олганда, тўғрибурчакли бўлмаган координаталар системасида , ифодаларга эга бўлиб, aⁱ-контравариант, a_i - ковариант деб аталувчи компоненталарга эга бўлдик.
Энди радиус векторни олайлик. Бу ерда ва , вектор чизиғига уринма йўналишда бўлади. Фазонинг ҳар бир нуқтасида векторлар бир текисликда бўлмаса, уларни шу нуқтадаги базис векторлар сифатида олиш мумкин. Базис векторлар мавжудлиги учун
 0

бўлиши керак.

Бу шарт бажарилса, ошкормас функциялар таърифига кўра деб ёза оламиз. Агар ва деб белгиласак, бу матрицалар, кўриш қийин эмаски, ўзаро тескари матрицалардан иборат бўлади. Энди ни эгри чизиқли координат системаси билан боғлиқ ҳар бир нуқтада келтириш мумкин.
Агар лар бирлик базислар деб олинса, дан топа оламиз:

2. Энди фундаментал матрица тушунчасини киритамиз ва базис вектор сифатида ни тузамиз. У ҳолда ихтиёрий бўлади.

Векторнинг ковариант ташкил этувчилари:
(1.1)
симметрик матрица фундаментал матрица дейилади. бўлгани учун шундай g^ij матрица мавжуд бўладики, у g_ij га тескари бўлиб, улар кўпайтмаси бирлик матрицани беради:
(1.2)

1. 
   дан
   

(1.3)

(1.3) ни g^ik га кўпайтириб, j бўйича йиғинди олсак,

(1.4)
бўлади.
Скаляр кўпайтмани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:

Ушбу векторлар га қўшма базис векторлар дейилади:
(1.5)
(1.5) нинг ҳар иккала томонини га кўпайтирайлик:

(1.5) ни га кўпайтирсак, келиб чиқади. Кўриш қийин эмаски, g_ij ва g^ij матрицалар билан векторнинг индексларини тушириш ва кўтариш мумкин.Фазонинг ҳар бир нуқтасида узунликлари бирга тенг бўлиши шарт бўлмаган ва ўзаро тик бўлиши ҳам шарт бўлмаган базис векторлар орқали шу нуқтадаги бирор физик вектор катталикнинг бир қийматли ёзиш имконияти пайдо бўлади. дан бу базис векторлар нуқтадан нуқтага ўтиб кузатилганда шу нуқталар учун, умуман олганда, ўзгарувчан , ва учликларни беради ва фазонинг нуқталари учун одатда ягона кенг ишлатиладиган учта , , базис векторлар базис векторларнинг хусусий холи бўлиб қолади.

Вазифа

1. лигини кўрсатинг.

2. Цилиндрик координат системасида базис векторлар, қўшма базис векторлар ва метрик тензор ифодалари ёзилсин.
3. Сферик координат системасида базис векторлар, қўшма базис векторлар ва метрик тензор ифодалари ёзилсин.
4. Исботланг: ,
Адабиётлар:

1. 
   Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1994, 2004 (электрон вариант)
   
2. 
   Маматқулов Ш. Тутуш муҳит механикаси, (1 қисм), ўқув қўлланма. Т.: Университет, 2003.
   

1^ ÌÑÑ-«Ìåõàíèêà ñïëîøíîé ñðåäы»íè ыçáåê òèëèãà - ÒММ, ÿúíè «òóòàø ìóщиò ìåõàíèêàñè» äåá òàðæèìà =èëèíäè - Ø.Ì.