Тригонометрик ифодаларни айний

Тригонометрик ифодаларни айний
алмаштириш.

Мактаб математика курсининг тригонометрия бўлимида жуда кўп айний муносабатлар, жумладан, қуйидаги муносабатлар ўрганилади:

1. Тригонометрик функсияларнинг бирини иккинчиси орқали ифодалайдиган айний алмаштиришлар.
2. Тригонометрик ифодаларни соддалаштиришдаги айний алмаштиришлар.
3. Тригонометрик айниятларни исботлашдаги айний алмаштиришлар.
4. Тригонометрик тенгламаларни йечишдаги айний алмаштиришлар.
Юқоридагилардан кўринадики, тригонометрия курсида айний алмаштиришлар муҳим ўринни эгаллайди. ИХ синф геометрия курсида тригонометрик функсияларга таьриф берилганидан сўнг, тўртта тригонометрик функсияларни ўзаро богьловчи қуйидаги учта айният ўрганилади:

Бу айниятларни келтириб чиқариш мактаб геометрия курсида батафсил баён қилинган. Бу айниятдардан яна қуйидаги учта айният келтириб чиқарилади:

Юқоридаги айниятлар тригонометрик ифодаларни ҳисоблашда бажариладиган айний шакл алмаштиришларда энг кўп ишлатиладиган айниятлар бўлиб ҳисобланади. Ўқитувчи ўқувчиларга илдизли ифодалар устида бажариладиган тригонометрик айний шакл алмаштиришларни бажаришга алоҳида эьтибор бериш лозим. Масалан, ифодани олайлик. Буни ҳисоблайдиган бўлсак, тенглиги ўринли бўлади.
Ўқувчиларга ва тенгликларнинг маьносини тушунтириш лозим. Бу ерда қиймат И чоракдаги, эса IIИ чоракдаги қиймат эканлигини геометрик нуқтаи назаридан кўрсатиб тушунтириш мақсадга мувофиқ. Бундан ташқари  нинг аниқ сон қийматларида ҳам бу ифодаларни ҳисоблаш лозим. Масалан, бўлганда шунинг учун , аммо . Демак, экан.
Ўқувчилар айний шакл алмаштиришларни яхши ўзлаштиришлари учун биринчидан тригонометрик функсиялар таьрифини, улардан бирини иккинчиси орқали ифодаловчи ва асосий айниятлар каби формулаларни билишларига, иккинчидан эса ана шу формулаларни тригонометрик ифода берилишига қараб тадбиқ қила олиш малакаларига богьлиқдир. Мактаб математика курсидаги тригонометрик айний шакл алмаштиришларни огьзаки бажаришга ўқувчиларни ўргатиш уларда мантиқий математик тафаккурни шакллантиради. Ўқитувчи бирор тригонометрик ифоданинг шаклини алмаштиришни бажаришдан олдин ўқувчиларга энг содда бўлган огьзаки тригонометрик машқлардан намуналарни доскага ёзиб, ўқувчилардан тезроқ огьзаки соддалаштиришни бажаришларини талаб қилиши ўқувчиларни тригонометрик айният ва формулаларни эсда доимо сақлашларига имкон яратади.
Масалан,

Бундан кейин ўқитувчи мураккаброк тригонометрик алмаштиришларни кўрсатиши мақсадга мувофиқдир.
1-мисол. (1–син)(1+син)–cос² ифодани соддалаштиринг.
1-усул.

2-усул.
2-мисол. ифодани соддалаштиринг.

3-мисол. айниятни исботланг.

4 - мисол. ифодани соддалаштиринг.

Юқоридагилардан кўринадики, тригонометрия курсида айний алмаштиришлар муҳим ўрин эгаллайди. Ўқувчилар тригонометрик айний шакл алмаштиришларни яхши ўзлаштиришлари учун биринчидан, тригонометрик функсияларни бирини иккинчиси орқали ифодаловчи ва асосий айният каби формулаларни, иккинчидан эса шу формулаларни тригонометрик ифодани берилишига қараб тадбиқ қила олиш малакаларига богьлиқдир. Тригонометрик айний шакл алмаштиришларни бажариш учун қуйидаги формулаларни билишлари керак:
1. Асосий тригонометрик айниятлар:


Бу айниятлардан келиб чиқадиган формулалар қуйидагилардир:


1-мисол. Айниятни исботланг.

Исботи:

2-мисол. Айниятни исботланг:

II. Икки бурчак йигьиндиси ва айирмасининг тригонометрик функсиялари.

1-мисол. cос15^о ни ҳисобланг.
Ҳисоблаш.

2-мисол. син15^о ни ҳисобланг .
Ҳисоблаш

Худди шунингдек, тг15^о=2– , стг15^о=2+ , сеc15^о= ларни ҳисоблаш мумкин.
3-мисол. айниятни исботланг.

4-мисол. син(+)син(-)=син²–син² айниятни исботланг.

Келтириш формулалари:


ИВ. Иккиланган ва учланган бурчакнинг тригонометрик функсиялари:





1-мисол. синсин(60^о–)син(60^о+)= син3 айниятни исботланг.

2-мисол. cосcос(60^о––)cос(60^о+)= cос3 айниятни исботланг.
3-мисол. тгтг(60^о–)тг(60^о+)=тг3 айниятни исботланг.
Бу айниятлардан фойдаланиб, қуйидаги тригонометрик ифодаларни осонликча ҳисоблаш мумкин:

4-мисол. син3cос³+син³cос3= син айниятни исботланг.

5-мисол. cосcос2cос4 ифодани соддалаштиринг.
Йечиш. Берилган ифодани син га кўпайтирамиз ҳамда бўламиз.

6-мисол. тг4–сеc4= айниятни исботланг.
В. Ярим аргументнинг тригонометрик функсиялари



1-мисол. ни ҳисобланг.
Йечиш.
2-мисол. ни исботланг.
Исботи.
ВИ. Тригонометрик функсиялар кўпайтмасини йигьиндига келтириш формулалари:

Мисол. cос+cос(+2)+...+cос(+) ифодани соддалаштиринг.
Йечиш. Берилган ифодани га кўпайтирамиз ва бўламиз.





ВII. Тригонометрик функсиялар йигьиндиси ва айирмасининг формулалари:



1-мисол. айниятни исботланг.
Исботи.
2-мисол. Агар
тенгликнинг ўринли эканлигини исботланг.
Исботи. Шартга кўра у ҳолда



ВII. Тригонометрик функсияларни ярим аргументнинг тангенси орқали ифодалаш: