Тўпламларнинг декарт кўпайтмаси. Муносабатлар. Эквивалентлик ва тартиб муносабати

Фробениус теоремаси.
Математиканинг асосий тадбиқлари қандайдир тенгламани ечиш орқали амалга оширилади. Бундай тенгламалар ичида энг асосий ва содда кўринишга эга бўлганлари a+x=b ва ax=b кўринишдаги чизиқли тенгламалардир. Шунинг учун ҳам барча сонли системаларда бундай тенгламаларни шу системада ечимга эга бўлиши муҳим ҳисобланади. Ҳақиқий сонлан майдонининг кенгайтмалари С, К ва А алгебраларда бу муҳим тенгламалар ечимга эга. Табиий равишда, юқоридаги каби хоссаларга эга бўлган ҳақиқий сонлар майдонининг бошқа кенгайтмаси борми, деган савол туғилади.
Юқоридаги кўрсатганимиздек, ҳақиқий сонлар майдонининг кенгайтмасини фақатгина ҳақиқий сонлар майдони устида чекли рангли алгебра қуриш орқали амалга ошириш мумкин.
Ҳақиқий сонлар майдони ўзи устида рангги 1 га тенг бўлинишга эга бўлган алгебра ташкил этади. Комплек сонлар майдони эса ҳақиқий сонлар майдони устида рангги 2 га тенг алгебра ташкил этади. Бундан ташқари, ҳақиқий сонлар майдони устида рангги 2 га тенг бўлинишга эга бўлган ҳар қандай алгебра комплекс сонлар майдонига изоморф бўлади, яъни комплекс сонлар майдони маълум маънода ягонадир. Олдинроқ таъкидлаганимиздек, ҳақиқий сонлар майдони устида рангги 3 га тенг бўлинишга эга бўлган алгебра қуриш мумкин эмас. Кватернионлар алгебраси эса ҳақиқий сонлар майдони устида ранги 4 га тенг бўлинишга эга бўлган алгебра бўлиб, ҳақиқий сонлар майдони устида ранги 4 га тенг бўлинишга эга бўлган ҳар қандай алгебра кватернионлар алгебрасига изоморф бўлади.
Исботлаш мумкинки, ҳақиқий сонлар майдони устида ранги 5 га тенг бўлинишга эга бўлган алгебра мавжуд эмас. Алгебранинг рангини ошириш ҳисобига комплекс сонлар майдонининг кенгайтмасини қуриш масаласига қуйидаги Фробениус теоремаси тўлиқ жавоб беради.
Теорема. Агар А тўплам ҳақиқий сонлар майдони устида ранги n га тенг ассоциатив бўлинишига эга бўлган алгебра бўлса, у ҳолда қуйидаги ҳоллар бўлиши мумкин, ёки n=1, ёки n=2, ёки n=4 бўлиб:
а) агар n=1 бўлса, А алгебра R-ҳақиқий сонлар майдони билан устма – уст тушади, яъни А=R;
б) агар n=2 бўлса, А ва С майдонлар изоморф бўлади (устма-уст тушади);
в) агар n=4 бўлса, бу алгебра кватернионлар алгебрасига изоморф бўлади.
Бу теоремадан кўринадики, ҳақиқий сонлар майдони устида бўлинишга эга бўлган (ассоциативлик шарти талаб қилинмаган ҳолда) чекли рангли алгебранинг ранги 1, ёки 2, ёки 4, ёки 8 га тенг бўлади.