Toshloq tumani

(кх+ЬГ¹ , _c k(n +1)

,k ^ 0 kx +1	— ln|A:x + b\ + C k
e^; кфО	-е^ы+ъ +C к
sin(kx+b); к Ф0	- cos(A:x + b) + C
cos(x+b); к Ф0	- — sin (kx+b) + C k

1. d	X
	a + 1
2. d	a^x
	£na

= x^adx ia Ф -1).


6. J(^_c°sx) = sin dx


7. ditgx)


5—
COS Jf


a^xdx ia >0, a ^ 1) .

1

3. 
   с?(^и|л:|) = — dx (л: Ф 0) .
   

A*

3. 
   d{e^x)=e^xdx
   
4. 
   J(sinx) = cosxdx
   

8. d(-ctgx) =


sin² jf


dx


9. d(arcs in x) = d{- arccos x) =


4\~.


- dx


10. d(arctgx) = d(-arcctgx) =


1 + x


-dx


Agar F(x) = /(A')boMsa, dF(x) = F'(x)dx, ya’ni dF{x) = /(x)F(x) + C = J/(x)dx yoki J/(x)dx =F(x) + C ekani kelib chiqadi.
Bu formuladan va differensiallar jadvalidan foydalanib, aniqmas integralar jadvalini tuzamiz:


xⁿ⁺¹ a^x
1. \xⁿdx = 2. \a^xdx = hC,a^l;a>-0
j И -1-1 J 1 v\ n


n + 1
3. j"—dx = 1п|х| + C,x Ф- 0;
A*
5. j"cosxdx = sinx + C;


7.


/ /


COS² Jf






dx = tgx + C


In a
3. $e^xdx = e^x +C;
6. Jsinjftix: = -cosx + C;
r 1
8. —-—dx = -ctgx + C;
J cin ²


sin² JC


-dx = arcsin jc + C = -arccos jc + C


; io. j-L

^J 1 + Л

- б/л' = arctgx + C = -arcctgx + C .


Ayrim hollarda J/(x)dx aniqmas integraini hisoblashda ishni osonlashtirish maqsadida
o'zgaruvchini almashtirish usuli qo'llaniladi. Faraz qilaylik, x=cp(t) differensiallanuvchi funksiya bo'lsin. U holdaj/(x)
formulani aniqmas integralda o'zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi. Bu usul bilan integral hisoblanganda hisoblash oxirida yana oldingi o'zgaruv-chiga o'tiladi. Buning uchun x=cp(t) funksiyaning teskari funksiyasi mavjud bo'-lishi kerak. Aniqmas integralda bo'laklab integrallash usuli quyidagi formulaga asoslangan. Ma'lumki, u(x) va v(3cjdifferensiallanuvchi funksiyalar bo'lsa,
d(uv) = udv + vdu formula o'rinli bo'ladi. Bundan: udv dfnvj-vdu ni olamiz. Bu tenglikning har ikkala tomonini integrallab va aniqmas integralning xossasidan foy dal anib, J udv = uv - j vdu (1) formulani hosil qilamiz. Bu formula aniqmas integralda
bo'laklab integrallash formulasi deyiladi.

1. 
   Mustahkamlash. Savollar:
   

1. 
   Aniqmas integral deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Integral ostidagi ifoda deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasini tushuntirib bering.
   
4. 
   Bo’laklab integrallash formulasini tushuntirib bering
   

2. 
   Darsni yakunlash.
   
3. 
   Uyga vazifa: test yechish tematik axborotnomalardan
   

Tayyorladi:
Tekshirdi: O’TIBDCf :


“ ” 20 y.

Sana:

56. 
    mas hs‘ulot
    

Dars mavzusi. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi. Aniq integral. Nyuton-Leybnis formulasi.
Dars maqsadlari: o‘quvchilarga egri chiziqli trapetsiyaning yuzi,aniq integral Nyuton- leybnis formulasini o‘rgatish, ularning fanga qiziqishlarini oshirish.
Darsning borishi:

1. 
   Tashkiliy qism.
   
2. 
   Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi. Aniq integral. Nyuton-Leybnis formulasi.
   

[a; b\ kesmada uzluksiz va musbat bo'lgan f(h) funksiya grafigi, Ox o’q, hamda h = a, h = b to'g'ri chiziqlar kesmalari bilan chegaralangan figura egri chivqli tra-petsiya deb ataladi. aABb egri chiziqli trapetsiya yuzini hisoblash masalasini qaraymiz. [a; b] kesmada integrallanuvchi у =f(h) funksiyani qaraymiz. Agar hc[a;&]b o'lsa, u holda f(h) funksiya \a\ b\ kesmada integrallanuvchi bo'lib, F(h) uning boshlang’ich funksiyasi bo’lsin. F(h)ning \a\ b\ kesmadagi orttirmasi F(b)-
b
F(a) ayirma jf(x)dx aniq integralning qiymatiga teng bo’ladi, ya’ni


b
J f (x)dx = F(b) - F(a)


Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.


Aniq integral hossalari.

1. 
   Agar aniq integralning chegaralari almashtirilsa, uning ishorasi qarama-qarshiga almashadi:
   

b a
J" / (x)dx = -J"/ (x)dx
a b

2. 
   Yuqori v kuyi chegarasi teng bo‘lsa aniq integral nolga teng boMadi:
   

a
J" / (pc)dx = 0
a

3. 
   Integrallash oraliqlarini boMaklarga boMisb mumkin:
   

b c b
J" / (x)dx = J"/ (x)dx + J"/ (x)dx , a
a a c

4. 
   0‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashkariga chikarish mumkin:
   

b c
J" kf {x)dx = k^f {x)dx (k = const)
a a

5. 
   Yigrindining aniq integrali qcfshiluvchilar aniq integrallarining yigMndisiga teng:
   

b b b
J" 1/(^x) + q(x)]dx = j/(x)dx + J" q{x)dx
a a a
Aniq integral Nyuton - Leybnitsining
b
J/(x)dx = F(x) \^b_a = F(b) - F(a)
a
formulasi yordamida hisoblanadi.