Toshkent viloyati chirchiq davlat pedagogika instituti matematika va info

Ko’p o’zgaruvchili funksiyada o’rta qiymat haqidagi teorema

Matematika fanining hoshqa tarmoqlarida shurday funksiyalar uchraydiki, ular ko'p o'zgaruvchilarga hog'liq bo'ladi.
O'rta qiymat haqida teorema
Mavhum integralning integralning qavariq qobig'iga tegishli bo'lishi uchun minimal etarli shartlarni o'rganish uchun biz u sodir bo'ladigan aksiomalar tizimini taklif qilamiz. Agar integral yo'l bilan bog'langan topologik fazoda uzluksiz  -qiymatli funksiya bo'lsa, biz har qanday bunday integralni ko'pi bilan n nuqtada integratsiya qiymatlarining qavariq birikmasi sifatida ko'rsatish mumkinligini isbotlaymiz, yakuniy ko'p o'zgaruvchan o'rtacha qiymat teoremasini beradi.
Ushbu teoremaning alohida birinchimarta Hindistondagi Kerala astronomiya va matematika maktabidan Parameshvara (1380-1460) tomonidan Govindasvami va Bxaskara II ga sharhlarida tasvirlangan . [1] Teoremaning cheklangan shakli 1691 yilda Mishel Rol tomonidan isbotlangan; natija endi Rol teoremasi deb nomlanuvchi narsa bo'ldi va faqat ko'phadlar uchun, hisoblash texnikasisiz isbotlandi. Oʻrtacha qiymat teoremasi zamonaviy koʻrinishda 1823- yilda Avgustin Lui Koshi tomonidan bayon etilgan va isbotlangan.  Oʻshandan beri bu teoremaning koʻplab oʻzgarishlari isbotlangan.
= , funksiya M to'plamda berilgan. Bu to’plamda shunday
va nuqtalami olaylikki, bu nuqtalami birlashtiruvchi to'g’ri chiziq kesmasi

1-teorema. Agar funksiya A kesmaning a va b nuqtalarida uzluksiz bo’lib, kesmaning qolgan barcha nuqtalrida funksiya differensiallanuvchi bo’lsa. u holda A kesmada shunday с nuqta topiladiki

Bo’ladi
f ( x ) funksiyani A to’plamda qaraylik. Unda

bo’lib , i o ’zgaruvchining [0,1] segmentda berilgan funksiyasiga aylanadi:

Bu funksiya (0, l) intervalda ushbu

hosilaga ega bo’ladi.
Demak f ( x ) funksiya [0, 1] segmentda uzluksiz, (0. 1) intervalda esa F'{t) hosilaga ega. Unda Lagranj teoremasiga intervalda shunday nuqta topiladiki
bo’ladi. Ravshanki,


deb belgilasak, unda e A bo’lib. yuqoridagi tengliklardan

kelib chiqadi.
Bu o ’rta qiymat haqidagi teorema deb ataladi.
2-natija. f ( x ) funksiya bog'lamli M to’plamda berilgan bo’lib. uning har bir nuqtasi differensiallanuvchi bo’lsin. Agar M to’plamning har bir nuqtasida f ( x ) funksiyaning barcha xususiy hosilalari nolga teng bo'lsa, funksiya M to’plamda o ’zgarmas bo’ladi.
M to’plamda hamda ixtiyoriy , nuqtalami olaylik. Bu nuqtalami birlashtiruvchi kesma shu M to’plamga tegishli bo’lsin. U holda shu kesma nuqtalarida 1-teoremaga ko’ra

bo’ladi. Funksiyaning barcha xususiy hosilalari nolga teng ekanidan
= bo’lishi kelib chiqadi.
Asosiy integral oʻrtacha qiymat teoremasi [a,b] oraliqda uzluksiz boʻlgan X funksiya uchun (a,b) t\da shunday nuqta mavjudligini bildiradi.[ a , b ] ∈ ( a , b )

Ushbu teoremaning to‘g‘riligi uchun uzluksizlik farazi hal qiluvchi ahamiyatga ega ekanligini ko‘rsatish uchun [ − 1 , 1 ] s\in[-1,0) va X(s) uchun X (s)=−1 ni aniqlashimiz mumkin. s\in[0,1] uchun =1 . Demak, bu erda ( 1 ) ni qondirish uchun bizda bitta t\in(-1,1) nuqta yo'q. Biroq, ikkita nuqtadagi f qiymatlarining konveks kombinatsiyasi bilan shunga o'xshash natijaga erishishimiz mumkin :s ∈ [ - 1 ,  X( s ) = ∈ [ 0 , 1 ] t ∈ ( - 1 , 1 )

Ma'lum bo'lishicha, uzluksiz funktsiyalar uchun bitta qo'shimcha nuqtaning farqi ancha umumiy holatda va yuqori o'lchamdagi integrallarning juda keng sinfi uchun qoladi.
Ingliz matematigi Bruk Teylor matematika faniga o’zining juda ko’p ilmiy ishlari bilan katta xissa qo’shgan olimlardan biridir. Uning matematika tarixida buyuk kashfiyotlaridan biri, o’zining 29 yoshida, ya’ni 1715 – yilda yaratgan nazariyasi bilan matematika tarixida o’chmas iz qoldirdi. Bu kashfiyot nimadan iborat?

Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning Teylor formulasi.

. Teylor formulasi Faraz qilaylik, z= , funktsiya biror ( , ) nuqta atrofida n -tartibgacha barcha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin. va larga shunday х va у orttirmalar beraylikki, ( , ) va ( + х , + у) nuqtalarni birlashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi ( , ) nuqtaning qaralayotgan atrofidan tashqariga chiqib ketmasin. Bu kesma tenglamasi quyidagicha
bo’ladi. U holda z= , funktsiya bu kesma bo’ylab bitta t o’zgaruvchining funktsiyasi bo’lib qoladi:
, = =F(t).
Bundan

F(t) ning =0 nuqta atrofida Makloren formulasi bo’yicha yoyilmasidan foydalanamiz:

Agar bu yerda t =1 desak,

bo’ladi. Aynan shundek,

Bularni qo’ysak,

ga ega bo’lamiz.
formuladan z= funktsiya uchun Teylor formulasi, deb ataladi. Uning xususiy hosilalar bo’yicha ifodasi ancha murakkab. Xususiy п =1 va п =2 bo’lgan hollar uchun bu formula quyidagicha ko’rinishda bo’ladi:

Bizga

funksiya berilgan bo’lsin. Mana shu funksiyani shunday

ko’rinishidagi funksiya bilan yaqinlashtirish kerakki, uning uchun
bo’lsin. Agar qator hadlarini yetarlicha katta olsak, u shunchalik funksiyaga yaqinlashadi Teylor zamondoshlari bo’lib, ular differensial va integral hisob asoschilari hisoblaydi. Teylor mana shu differensial va integral hisob asosida o’zining kashfiyotini amalga oshirdi.
Keyinchalik Teylor usuli bilan ko’p matematik olimlar: Lagranj, Koshi, Shlemilha, Rosh, Peano va boshqalar ilmiy izlanishlar olib bordilar. Mana shundan so’ngra usul Teylor qatori darajasiga yetdi. Hozirgi vaqtda bu qator oliy matematikaning asosini tashkil qiluvchi tushunchalardan biri bo’lib hisoblanadi. Teylor qatori yordamida har qanday funksiyani tabiatini o’rganishda juda katta yordam beradi. Quyida mana shunday masalalarni ko’rib chiqamiz.
Funksiya limitini hisoblash. Matematik tahlil fanida limitlarni hisoblashning turli usullari mavjud bo’lib , ular bir-biri bilan o’ziga xosligi bilan ajralib turadi.
Aytaylik bizga
limit berilgan bo’lib,

bo’lsin. Biz f(x) va g(x) funksiyalarni nuqta atrofida qatorga yoyib olamiz:

U holda

Boshqa ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda ham shu usulni qo’llash mumkin. 2. Nyuton formulasi va uning Teylor formulasi bilan aloqadorligi.
Aytaylik bizga

funksiya berilgan bo’lsin, bu yerda . Makloren formulasini tadbiq etib ,

larni hosil qilib, bulardan

ni hosil qilamiz. U holda bu funksiya uchun Makloren formulasi quyidagicha bo’ladi:

Agar mєN bo’lsa, u holda (n+1) -chi tartibli xosilalardan boshlab keyingi hadlar nolga teng bo’ladi, ya’ni Nyuton binomini hosil qilamiz:

Demak, Nyuton binomi formulasi Teylor formulasining xususiy xoli ekan. 3. F(x,y)=0 tenglamani yechishga tadbiqi. Bizga F(x,y)=0 ko’rinishdagi oshkormas funksiya berilgan bo’lsin. Agar bu tenglamadan y yoki x o’zgaruvchini topish imkoni bo’lsa masala xal bo’lgan bo’ladi, aksincha o’zgaruvchilarga nisbatan yechish imkoni bo’lmasa, uni yechish uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. X0 =0 dagi Teylor formulasini olaylik:

Buni
tenglamaga olib borib,

algebraik tenglamaga kelamiz. Noma’lum koeffisientlar usulidan foydalanib,
koeffisientlarni topamiz va

tenglamaning dastlabki taxminiy yechimini hosil qilamiz. Koeffisientlarning ko’proq topilishi yechimning aniqligini oshirishga olib keladi.
Misol tenglamani yeching Yechish:

ni tenglamaga qo’yamiz:


Noma’lum koeffisientlar usuliga ko’ra:

Bu sistemadan
, larni topib,
yechimni hosil qilamiz.

Agar f(x) funksiyaga boshlang’ich funksiya topish mumkin bo’lsa, masala hal, aksincha bo’lsa, Teylor formulasidan foydalanishga to’g’ri keladi.

Yechish. Ma’lumki,

U holda

Bo’ladi
Bu integral o’ziga xos nomga ega bo’lib, u integral sinus deyiladi. Integral sinus nazariy fizikaning ayrim bo’limlarini o’rganishda uchraydi.
Hisoblashda Teylor teoremasi k - tartibli Teylor ko‘phad deb ataladigan k darajali ko‘phad bilan berilgan nuqta atrofidagi k - karra differensiallanuvchi funksiyaning taqribanligini beradi . Silliq funksiya uchun
Teylor ko‘phadli funksiyaning Teylor qatorining k tartibidagi kesilishidir . Birinchi tartibli Teylor polinomi funksiyaning chiziqli yaqinlashuvi , ikkinchi tartibli Teylor ko‘phad esa ko‘pincha kvadratik yaqinlashish deb ataladi