Toshкent davlat texniкa

2

1. 
   Bir o‗yinchining to‗rtta o‗yindan uchtasida yutish ehtimoli
   

P (3)  C ³ p³q  4  ¹  ¹  ¹ .



^{4 4} 2³ 2 4
Sakkizta o‗yindan beshtasida yutish ehtimoli

P (5)  C ⁵ pq³  ^{8  7  6}  ¹  ¹  <sup>7



8 8</sup> 1 2  3 2⁵ 2³ 32.

Demak,

1 _ 7

4 32

bo‗lganligi uchun, to‗rtta o‗yinda uch marta

yutish ehtimoli ortiq.

2. 
   Bir o‗yinchining to‗rtta o‗yinda kamida uch marta yutish ehtimoli
   

P ( K  3 )  P ( 3 )  P ( 4 )  ¹ 

1 _ 5 _.

4 4 4

4 16 16

Sakkizta o‗yinda kamida besh marta yutish ehtimoli

P₈ ( K  5 )  P₈ ( 5 )  P₈ ( 6 )  P₈ (7 )  P₈ ( 8 ) 

 ⁷  ^{ 8 7}  8  1^{ 1} 



93 _.





32 _ 2

 ₂₈

256

Demak,

93 _ 5

256 16

bo‗lgani uchun, sakkizta o‗yinda kamida besh

marta yutish ehtimoli ortiq.

7. 
   misol. Partiyadagi 100 ta mahsulotdan 10 tasi yaroqsiz. Mahsulot sifatini tekshirish uchun shu partiyadan ixtiyoriy 5 tasi tanlab olindi.
   

 ^{tasodifiy miqdor – tanlab olingan mahsulotlar ichidagi yaroqsiz} mahsulotlar soni bo‗lsa, shu tasodifiy miqdorning taqsimot jadvali tuzilsin.

Yechimi. Tanlab olingan 5 ta mahsulot ichidagi yaroqsizlari soni 0 dan 5 gacha bo‗lishi mumkin. Shu sababli  tasodifiy miqdor

X₁  0,

X ₂  1,

X ₃  2,

X ₄  3,

X ₅  4,

X ₆  5

qiymatlarni gipergeometrik taqsimot qonuni bo‗yicha,

_CK _{ C}5K

P( 

_{ K ) } 10 90 _,


C

5
100

K  0,1,...,5

ehtimolliklar bilan qabul qiladi. Bu ehtimolliklarni 0,001 aniqlikda taqriban hisoblaymiz:

P₁  P(   0 )  0,584,

P₃  P(   2 )  0,07,

P₂  P(  1)  0,339, P₄  P(   3 )  0,007,

P₅  P(   4 )  0,

P₆  P( 

 5 )  0.

Endi bu tasodifiy miqdorning taqsimot jadvalini tuzishimiz mumkin

X i	0	1	2	3	4	5
P	0,584	0,339	0,070	0,007	0	0

7. 
   misol. a radiusli aylana ixtiyoriy nuqtasi radius – vektorining shu aylana diametriga proyeksiyasi –  quyidagi taqsimot funksiyasi (arksinus qonuni) ga ega
   

_1,

₁

• 
  x  a,
  

1 x


F( x )  _2  _ arcsin _a ,

• 
  a  x  a,
  

_^0,

 ^{tasodifiy miqdorning}

1. 
   Qiymatlari ^ ^a , ^{a }
   

x  a.
oraliqqa tushishi ehtimoli;

2

2
 

 

2. 
   𝑓 𝑥 zichlik funksiyasi;
   
3. 
   Taqsimotning moda va medianasi aniqlansin.
   

^Yechimi.  ^{-tasodifiy miqdorning qiymatlari}
_ ^a _, ^a 

oraliqqa

2

2
 

 

tushish ehtimoli

P^ ^a    ^{a }  F^{ a }  F^ ^{a }  ¹ arcsin ¹  ¹ arcsin ¹  ¹ ;

 _{2 2}   ₂   ₂  _

2  2 3

     

2. 
   Zichlik funksiyasi ( a, a) oraliqda
   

𝑓 ^{(x)  dF (x)  d  1  1 arcsin x   1}

dx

tenglik bilan,

 


a
dx _ 2  _

to‗plamda

tenglik bilan aniqlanadi.

( ,a ) ( a, )
f ( x )  0

2. 
   Zichlik funksiyasining modasi mavjud emas, chunki
   

𝑓 (x)  ¹

funksiyasining maksimum qiymati yo‗q.

Quyidagi

¹  ¹ arcsin ^x  ¹

2  a 2

tenglamani yechib, mediana nolga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

7. 
   misol. 100 ta mahsulotdan 10 tasi sifatsiz bo‗lib, mahsulot ^{sifatini tekshirish maqsadida 5 tasi tanlab olindi. Agar}  ^{- tasodifiy} miqdor - tanlab olingan mahsulotlar ichidagi sifatsiz mahsulotlar soni bo‗lsa, shu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi topilsin.
   

^Yechimi.  ^{tasodifiy miqdor}

x₁  0,

x₂  1,

x₃  2,

x₄  3,

x₅  4,

x₆  5

qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bu

qiymatlarni qabul qilish ehtimolliklari

P(   k )

k 5k


C  C


10 10


C
5

100

( k  0,1,...,6 )

^{formula bilan hisoblanadi.}  ^{tasodifiy miqdorning matematik} kutilmasi

⁵ _𝐶𝑘 _{∙ 𝐶}5−𝑘 ₁ ⁵

10

90
𝑀𝑋 = 𝑘 ∙ ^{10 90} =

_𝐶5

_𝐶5

∙ 𝑘 ∙ 𝐶^𝑘

• 
  _𝐶5−𝑘 ₌
  

𝑘=0

100

100

𝑘=1

₌ 10

5

_{∙ 𝐶}𝑘−1 _{∙ 𝐶}5−𝑘 ₌

4


𝐶
¹⁰ ∙ 𝐶^𝑗 ∙ 𝐶^4−𝑗

𝐶
5

100

9 90

𝑘=1

5

100

9 90

𝑗 =0

ga teng. Bu ifodadagi
4

_𝐶𝑗 _{∙ 𝐶}4−𝑗

9 90

𝑗 =0

yig‗indini hisoblash uchun

(1 u)⁹ (1 u)⁹⁰  (1 u)⁹⁹

ayniyatdan foydalanamiz. Bu ayniyatning chap tomonidagi

ko‗phadda

u ⁴ ning koeffitsienti

4

_𝐶𝑗 _{∙ 𝐶}4−𝑗

9 90

𝑗 =0

C

99

ga
ga teng. Bu koeffitsient o‗ng tomondagi ko‗phad uchun ⁴

teng. Demak,

4

𝐶^𝑗 ∙ 𝐶^4−𝑗 = 𝐶⁴

9 90 ⁹⁹

𝑗 =0

va

10  C ⁴ 1

5

C
M  ⁹⁹ 

100 ²

12. 
    misol. Kemaning yonboshga tebranish amplitudasi – zichlik funktsiyasi
    

f ( x )  ^x

_a2

• 
  _x2
  

 e ^2a2 ,

x  0

^{(Reley qonuni) dan iborat}  ^{tasodifiy miqdordir. Shu tasodifiy} miqdorning

1. 
   M
   

matematik kutilmasi;

2. 
   D
   

dispersiyasi va  _x

o‗rta kvadratik chetlanishi;

3. 
   ^₃ va
   

₄ - mos ravishda uchinchi va to‗rtinchi tartibli markaziy

momentlari topilsin.

Yechimi. Quyidagi

J   tⁿ  e^{ t 2} dt n ₀


(n-natural son) integral yordamida ixtiyoriy tartibli momentlarni hi- soblash mumkin. n - juft bo‗lganda


2




J  ¹ A^ k  ^{1 } 




_{2k 2}  

^bunda ( 2k 1)!!  ( 2k 1)( 2k  3 )...31,

n-toq bo‗lganda
J  ¹ A( k 1)  ^k! .

a)Matematik kutilma



2k 1 ₂

2
₁   ^x2

M  _ x  f ( x )dx 

0

_ x²e

^a2 0

2a² _dx

^{ t} almashtirish bajarsak,



x : M

 2 

2 a  _ t ²e^t2 dt 2 

0

2 a  J ₂ 

 2 

ga teng bo‗ladi.

2 a  ^

4

 a 

_b) D()  M (² )  (M)² ,

bunda

_{1   x}2 ₁

2
m : M( X ² ) 

_{2 } x³e ^2a2 dx  4a² J₃  4a²


a
0

 2a² .

2

Shu sababli bundan

D()  2a ²

_ a ²

2

 ^ 2 





^{ }a ² ,


₂ 


 _x   a

c)

3

3
  M [(   x )³ ]  m

 3xm₂

 2( x )³ ,

bunda

U holda
m₃  4 

4
 a³ J
 4 
 a³  ³

8
  3a³

3
  3a³

• 
  3a
  

 2a ²  2a³  ^ 

2

 a³ (  3) ,

4

4
  M ((  x)⁴ )  m

• 
  4xm₃
  

• 
  6x ²m
  

 3x ⁴ ,

4 5

2
bunda

m  8a⁴  J  8a⁴ ,

shuning uchun

  ^{4 }  ³  ^{2 }




₄ ^a ⁸ ^.

 ⁴ 

12. 
    misol. Radioapparat 1000 ta elektroelementga ega. Yil davomida bitta elementning ishdan chiqishi ehtimolligi 0,0001 ga teng.
    

1. 
   Ikkita elementning;
   
2. 
   Kamida ikkita elementning ishdan chiqishi ehtimoli topilsin.
   

Yechimi. Ishdan chiqqan elementlar soni – tasodifiy miqdor bo‗lib,

uni   n  p  1000  0,001  1 parametrli Puasson taqsimoti

qonuniga bo‗ysunadi deb hisoblash mumkin. U holda

1. 
   ikkita elementning ishdan chiqishi ehtimolligi
   

P( 

ga,

_2





2 )  P₁₀₀₀ ( 2 )  _2! e

 ¹  0,184

2e

2. 
   kamida ikkita elementning ishdan chiqishi ehtimolligi
   

P( 

 2 )  1  P( 

 2 )  1  P₁₀₀₀ ( 0 )  P₁₀₀₀ ( 1 ) 

 1  e^ ( 1   )  1  ²  0,262

e

ga teng.

12. 
    misol. Ma‘lum ob‘yektgacha bo‗lgan uzoqlikni o‗lchash sistematik va tasodifiy xatolarni keltirib chiqaradi. Uzoqlikning o‗lchashdagi sistematik xato - 50 m ga teng. Tasodifiy xatolar esa
    

o‗rta kvadratik chetlanishi   100 m bo‗lgan, normal taqsimot

qonuniga bo‗ysunadi.

1. 
   Uzoqlikni o‗lchashdagi xatolik, absolut qiymati bo‗yicha, 150 m. dan oshmaslik ehtimoli;
   
2. 
   Uzoqlikni o‗lchashdagi xatolik, shu uzoqlikning haqiqiy qiymatidan oshmaslik ehtimoli toplilsin.
   

Yechimi. Uzoqlikni o‗lchashdagi xatolikni  deb olsak, masala shartiga ko‗ra  - parametrlari (-50, 100) bo‗lgan normal taqsimot qonuniga bo‗ysinuvchi tasodifiy miqdor bo‗ladi. Shu sababli

a)

P( 
 150 )  P( 150    150 ) 








_{ Ф} ^{150  50}  _{ Ф} ^{ 150  50}  _




^ 100 ^{ } 100 ^

 Ф( 2 )  Ф( 1 )  Ф( 2 )  Ф( 1 )  0,4772  0,3413  0,8185

bunda

Ф( 2 ) ^va

Ф( 1 )
_{1 x} _u2

Ф( x )  _ e

2 0

² du

Laplas funksiyasining

x  2 va

10.  1

nuqtadagi qiymatlari bo‗lib,

ular jadval yordamida topildi.

b) Uzunlikni o‗lchashdagi xatolik, shu uzunlikning haqiqiy qiymatidan oshmasligi ehtimoli








P(     0 )  Ф^{ 0  50 }  Ф^{    50 } 




^ 100 ^{ } 100 ^

 Ф( 0,5 )  Ф(  )  0,1915  0,5  0,6915