Toshkent davlat pedagogika universiteti tabiiy fanlar fakulteti kimyo yo’nalishi 104-guruh talabasi Toxirov Baxromning oliy matematika fanidan mustaqil ishi

Toshkent davlat pedagogika universiteti tabiiy fanlar fakulteti kimyo yo’nalishi 104-guruh talabasi Toxirov Baxromning

oliy matematika fanidan

MUSTAQIL ISHI

Topshirdi: Toxirov.B.B

Qabul qildi: Rajabov. U

Mavzu: Tekislik va fazoning analitik geometriyasi

Reja:

1. Kirish

2. Ikki nuqta orasidagi masofa

3. Fazoda tekislik va uning xossalari

4. Fazoda to’g’ri chiziq va uning tenglmasi

5. Fazoda tekislik va to’g’ri chiziqlarga oid masalalar

1) Tekislikda analitik geometriyaning asosiy tushunchalari va sodda masalalari bilan tanishdik.Ma’lumki, bizni o’rab turgan borliq (uch o’lchovli fazo) bo’lib, bizga ko’rinib turgan real jismlar shu fazoda ma’lum bir o’rinni egallaydi. Fazoda ularning holatini aniqlash uchun xuddi tekislikdagi kabi Dekart koordinatalar sistemasi kiritiladi. Bizga masshtab birligi bilan berilgan o’zaro perpendikulyar hamda bitta 𝑂 nuqtada kesishuvchi 𝑂𝑥,, 𝑂𝑧 to’g’ri chiziqlar sistemasi berilgan bo’lsin. Odatda bu sistema fazoda Dekart koordinatalar sistemasi deyiladi va 𝑂𝑥𝑦𝑧 kabi belgilanadi. 𝑂 nuqta koordinatalar boshi, 𝑂𝑥 −abstsissalar o’qi, 𝑂𝑦 −ordinatalar o’qi, 𝑂𝑧 −applikatalar o’qi deyiladi. Fazoda biror 𝐴 nuqtaning holati uning 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 o’qlarga proektsiyalari −(𝑥, 𝑦, 𝑧) uchlik bilan to’la aniqlanadi.

2) Ikki nuqta orasidagi masofa fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va 𝐴 𝑥1, 𝑦, 𝑧1 , 𝐵 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 nuqtalar berilgan. Bu nuqtalar orasidagi masofani topamiz. 𝐴1 va 𝐵1 nuqtalar mos ravishda 𝐴 va 𝐵 ning 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi proektsiyalari bo’lsin. Tekislikda ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra 𝐴1𝐵1 = (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 bo’ladi. 𝐴 nuqtadan 𝐴1𝐵1 kesmaga parallel chiziq o’tkazib, uni 𝐵2 bilan belgilaymiz. U holda 𝐵𝐵2 kesmaning uzunligi 𝑧2 − 𝑧1 ga teng. 𝐴𝐵 = (𝐴𝐵2) 2 + (𝐵𝐵2) 2 = = (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 + (𝑧2−𝑧1) 2

Musbati yo‘nalishi tanlab olingan l to‘g‘ri chiziq o‘q deb ataladi. O‘qni yo‘nalishi odatda strelka bilan ko‘rsatiladi.

Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi

Fazoda nuqtaning o‘rnini aniqlash uchun bir-biri bilan to‘g‘ri burchak hosil qilib kesishadigan uchta H,Q,R tekisliklarni qaraymiz. Bu tekisliklarni koordinata tekisliklari deb ataladi. R,Q,R tekisliklar OX,OY,OZ to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha kesishadi, bu chiziqlar koordinata o‘qlari deyiladi va OX abssissa o‘qi, OY ordinati o‘qi va OZ applikatalar o‘qi deb ataladi. Bu uch o‘qning kesishgannuqtasi O koordinatalar boshi deyiladi. Koordinata tekisliklari o‘zaro kesishib fazoni sakkiz qismga (bo‘lakka) ajratadi. Bu bo‘laklar oktantlar deyiladi.

Fazoda Dekart koordinatalar sistemasi va 𝐴 𝑥1, 𝑦, 𝑧1 ,

𝐵 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 nuqtalar berilgan. Bu nuqtalar orasidagi

masofani topamiz. 𝐴1 va 𝐵1 nuqtalar mos ravishda 𝐴 va 𝐵

ning 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi proektsiyalari bo’lsin. Tekislikda ikki

nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra

𝐴1𝐵1 = (𝑥2−𝑥1)

2 + (𝑦2−𝑦1)

2 bo’ladi. 𝐴 nuqtadan 𝐴1𝐵1

kesmaga parallel chiziq o’tkazib, uni 𝐵2 bilan belgilaymiz.

U holda 𝐵𝐵2 kesmaning uzunligi 𝑧2 − 𝑧1 ga teng.

To`g`ri burchakli 0xyz Dekart koordinatalar sistemasi o`lchov birligi aniqlangandan so`ng o`zaro perpendikulyar, bitta 0 nuqtada kesishuvchi 0x, 0y,0z o`qlari yordamida kiritiladi. Bunda 0-koordinata boshi, 0x- absissa,0y- ordinata, 0z- oplikata o`qlari deyiladi.

Biror C nuqta berilsa, undan 0x, 0y, 0z o`qlariga perpendikulyar tekisliklar o`tkazamiz. Bu tekisliklarning son o`qlari bilan kesishgan nuqtalari C nuqtaning

to`g`ri burchakli yoki Dekart koordinatalari deyiladi. C(x;y;z) , x=0 y=0 z=0

Bu kattaliklar ,mos ravishda C nuqta absissasi, ordinatasi ,oplikatasi deyiladi. 0xy, 0yz, 0xz tekisliklari koordinata tekisliklari deyiladi. Ular fasoni 8ta bo`lak- oktantlarga ajratadi . Masalan -oktantda x>0, y>0, z>0 bo`lsa , oxirgi

VIII-oktantda x<0,y<0, z<0 boladi.

2. Fazodagi C nuqta holatini qutb koordinatalari va oplikata yordamida aniqlash mumkin. Buning uchun Dekart koordinatalari boshi va qutb boshini bitta nuqtaga, boshlang`ich nurni absissaga ustma – ust qo`yamiz. C nuqtaning 0xy tekislikdagi proeksiyasi bo`lsa, r=I0 I,  =

tarzida aniqlanadi. Bunda r,  , z – silindrik koordinatalari , kiritilgan sistema esa silindrik koordinatalar sistemasi deyiladi. Silindrik va Dekart koordinatalari o`zaro bog`lanishi qutb koordinatalar yordamida r= , tg = ko`rinishida bo`lishi avvaldan ma`lum.

Agar A va B tutashtirilib , kesma hosil qilinsa va bu kesmada C(x ; y ; z) nuqta olinib =λ munosabat o`rinli bo`lsa , x = , y=,z=

formulalarni keltirib chiqarish mumkin. .Xususan IACI=ICBI , λ=1 bo`lsa , x=, y= , z= kelib chiqadi .

Agar koordinatata boshi O( 0; 0; 0) dan biror bir ( a; b; c ) nuqtaga ko`chirilsa , A(x; y; z) nuqtaning yangi , sistemadagi koordinatalari mos ravishda ( ) bo`ladi . Eski va yangi koordinatalar formulalar yordamida o`zaro bog`lanadi.

Koordinatalar-ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi, sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini harakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi. Analitik geometriyaning vazifasi: birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning geometrik o‘rni deb qarab, shu obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni tenglamalarini tuzadi va ikkinchidan, tenglamalarning geometrik ma’nosini aniqlab, bu tenglamalar bilan berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va tekislikda yoki fazoda joylashishini o‘rganadi.

Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik o‘rnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va jismlarni sirtlardan tashkil tongan deb qarash mumkin.

3. Fazoda tekislik va uning tenglamasi Faraz qilaylik, fazoda Dekart koordinatalar sistemasi, 𝑃 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 hamda 𝑄(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) nuqtalar berilgan bo’lsin. Bu ikki nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni tekislikni ifodalaydi. Bu tekislikda ixtiyoriy 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 nuqtani olaylik. Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko’ra 𝑀𝑃 = (𝑥 − 𝑎1) 2+(𝑦 − 𝑏1) 2+(𝑧 − 𝑐1) 2 , 𝑀𝑄 = (𝑥 − 𝑎2) 2+(𝑦 − 𝑏2) 2+(𝑧 − 𝑐2) 2 bo’ladi. Agar 𝑀𝑃 = 𝑀𝑄 bo’lishini e’tiborga olsak, unda (𝑥 − 𝑎1) 2+(𝑦 − 𝑏1) 2+(𝑧 − 𝑐1) 2= = (𝑥 − 𝑎2) 2+(𝑦 − 𝑏2) 2+(𝑧 − 𝑐2) 2 Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshiramiz: 𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 − 2𝑎1𝑥 − 2𝑏1𝑦 − 2𝑐1𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = = 𝑎2 2 + 𝑏2 2 + 𝑐2 2 − 2𝑎2𝑥 − 2𝑏2𝑦 − 2𝑐2𝑧 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Bu tenglikni quyidagicha ham yozish mumkin. 2(𝑎2−𝑎1)𝑥 + 2(𝑏2−𝑏1)𝑦 + 2(𝑐2−𝑐1)𝑧 + +𝑎1 2 + 𝑏1 2 + 𝑐1 2 − 𝑎2 2 − 𝑏2 2 − 𝑐2 2 = 0 𝐴 = 2(𝑎2−𝑎1), 𝐵 = 2(𝑏2−𝑏1), 𝐶 = 2(𝑐2−𝑐1), 𝐷 = 𝑎1 2 + 𝑏1 2 + +𝑐1 2 − 𝑎2 2 − 𝑏2 2 − 𝑐2 2 belgilashlarni kiritsak, ushbu 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tenglamaga kelamiz.Bu tenglama fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi.

Bu yerda 𝐴, 𝐵, 𝐶, o’zgarmas sonlar bo’lib, ular tekislikning fazodagi vaziyatini to’la aniqlaydi. Endi tenglamaning xususiy hollarini qaraylik.

1 ° . 𝐴 ≠ 0, T𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 = 0 bo’lsin. U holda 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0 tenglama hosil bo’lib, bu tenglama bilan aniqlangan tekislik koordinatalar boshi (0,0,0) nuqtadan o’tadi.

2 ° . 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, 𝐶 = 0. Bu holda biz 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0 tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama bilan aniqlangan tekislik 𝑂𝑧 o’qiga parallel tekislikdir.

3 ° . 𝐴 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, 𝐵 = 0. Bu holda 𝐴𝑥 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tekislik 𝑂𝑦 o’qiga parallel tekislikdir.

4 ° . 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0, Bu holda 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 tekislik 𝑂𝑥 o’qiga parallel tekislikdir.

5 ° . 𝐴 = 0, 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0,𝐷 ≠ 0. U holda (1) tenglama 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 ko’rinishga ega bo’lib, u 𝑂𝑥𝑦 kordinatalar tekisligiga parallel tekislikdir.

6 ° . 𝐴 = 0, 𝐶 = 0, 𝐵 ≠ 0,𝐷 ≠ 0. U holda (1) tenglama By+𝐷 = 0 ko’rinishga ega bo’lib, u 𝑂𝑥𝑧 kordinatalar tekisligiga parallel tekislikdir.

Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari

Ta’rif: Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi, agar ikkita o‘zaro perpendikulyar o‘q, ularni kesishish nuqtasi