Torning majburiy tebranish tenglamasiga qo’yilgan bir jinsli chegaraviy masalani yechishning Fur’e usuli

2. O’zgaruvchilarni almashtirish usuli


kesmada ortonormallashgan funksiyalar sistemalarini qaraymiz.

Fur’ye koeffisiyentlarini

kabi aniqlaymiz.
U holda matematik analiz kursidan ma’lumki, agar bo’lsa, u holda
,
qatorlar yaqinlashadi. Buni eslab qolamiz va bir jinsli chegaraviy shartlar bilan berilgan bir jinsli tebranish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalaga o’tamiz:

Uning yechimini quyidagi usul bilan topamiz: biror funksiyaga keltiruvchi almashtirishlarni bajaramiz, so’ngra, ma’lum bir shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar uchun bu funksiya mavjud bo’lishini va berilgan masala yechimi ekanligini isbotlaymiz.
Yechimni ko’rinishda izlaymiz. Bu nolga aynan teng bo’lmagan funksiya bo’lsin. ni tebranish tenglamasiga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz:

bu yerda qandaydir o’zgarmas son.
Bu ayniyatlardan ikkita tenglama kelib chiqadi:

da funsiya (2) shartni qanoatlantiradi.