To'plam tushunchasi, to'plamlar ustida

g) muc,

E Z}, C = {x | 5 < x 11, x z} bo'lsa, quyidagilarni

f) A'n c•,

19., U-Z,C- {y 1-4 -l,yez} va D - {y | -7 bo'lsin.

1. 
   C, D to'plamlarning elementlarini yozing;
   
2. 
   C n D ni toping;
   
3. 
   C U D ni toping•,
   
4. 
   U D) n(C) + n(D) — n D) tenglikning bajarilishini tekshiring.
   

20. U N, p {12 ning bo'luvchilari}, Q { ning bo 'luvchilari} va R {27 ning bo'luvchilari} bo•lsin.
a) P, Q, R to'plamlarning elementlarini yozing;

b) łpnQ; up n R;

c)łpnonR; n puQUR, larni toping.
U = N, A = {4 sonining40 dan kichik bo'lgan karralilari}, B = {6 sonining40 dan kichik bo'lgan karralilari} va
C = {12 sonining40 dan kichik bo 'lgan karralilari} bo'lsin.
a) A, B, C to'plamlarning elementlarini yozing; II Bnc; 111 A n c, IVA n Bnc.

3. 
   A B u C ni toping;
   
4. 
   „(A U B U C) = n n 0-n(A n 0+ +n(A n B n O tenglikning bajarilishini tekshiring.
   

U = N, A = {6 sonining 31 dan kichik bo'lgan karralilari} ,

2. 
   = {30 ning bo•luvchilari} va
   
3. 
   = {30 dan kichik bo'lgan tub sonlar} bo'lsin, To'plamlaming elementlarini yozing:
   

11Bnc,
Iv A nBnc.
c) A u B u C ni toping;

10

To'plamlarni Venn diagrammalari yordamida tasvirlash maqsadga muvofiq. Venn diagrammasida U universal to•plam — to'tri to•rtburchak, to 'Plam esa shu to'g•ri to'rtburchak ichida yotgan doira kabi tasvirlanadi.

A U B birlashma elementlari yoki ga, yoki B ga, yoki ikkalasiga tegishli bo'ladi. Demaki bunga mos Venn diagrammasida A U B to'plamni ifodalovchi soba quyidagicha tasvir-
6-—iseL U (l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) bo'lsa, quyidagi to'plamlarni Venn diagrammasida tasvirlang:


A, B to'plamlarVenn diagrammasida
Quyidagi to'plamlarning elementlarini yozing:
11B;
VIAUB•,

A, B, C to'plamlar Venn diagrammasida tasvirlangan.
a) Tosplamlarning elementlarini
IV AflB; VI Bnc;
VI' AUBIJC.
Venn diagrammasida to'plamlarni bo'yab tasvirlash mumkin.
Masalan, rasmda, mos ravishda, A, A B, B', A n B' to'plamlarbo'yalgan:
Mashqlar
Diagrammalarni daftaringizga koschiring va koersatilgan to'plamlarni bo•yang:

13

a )A nB;
c)A'UB;
e) (A n BY;

MULOHAZALAR. INKOR, KONYUNKSIYA 5-7 VA DIZYUNKSIYA
Rost yoki yolg'on bo'lgan darak gap mulohaza deyiladil
Savol shaklidagi gaplar, shaxsning munosabatini bildiruvchi darak gaplar, masalan, "Yashil rang yoqimlidir" mulohaza Olmaydi.
Ayrim mulohazalarning rost-yolg'onlłgi bir qiymatli aniqlanmaydi.

14

Masalan, "Bu yozuvchi Toshkentda tayallud topgan" mulohaza tayin bir yozuvchiga nisbatan rost, boshqasiga nisbatan yolg'on bo'lishi mumkin.
'-mis01. Quyidagilardan qaysi biri mulohaza bo'ladi?
Agar u mulohaza bo'lsa, uning rost-yolg'onligi bir qiymatli aniqlanadimi?
b) 258=200;

3. 
   Mening qalamim qayerda?
   
4. 
   Sening ko'zlaring moviy rangda.
   

a) Bu mulohaza va u yolg'on, chunki 20:4=5 bo'ladi;
b) bu mulohaza va u rost;
c) bu so'roq gap bo'lgani uchun, u mulohaza bo'lmaydi;
d) bu mulohaza, uning rost-yolg'onligi bir qiymatli aniqlanmaydi, chunki ayrim insonlarga nisbatan u yolg'on, ayrimlariga nisbatan esa rost.
biz mulohazalarni p, harflar bilan belgilaymiz.
Masalan, p• Seshanba kuni yomg'ir yog'di;
r: x — jun son.
Murakkabroq mulohazalarni tuzish uchun (konyunksiya — ”arntno"), V (dizyunksiya — "yoki"), —t (inkor — emas", notcŕg'ri") mantiqty bog'lovchilar deb ataluvchi maxsus belgilardan foydalaniladi.
Ularni qarab chiqaylik.
Inkor mulohaza uchun ”p emasⁱ' yoki ekani not&g'riâkhakldagi muiohazap ning
@$ori deyiladi va —p kabi belgilanądi€
Masalan, p: Seshanba kuni yomgîir p: Madinaning zi moviy yog'di mulohazaning inkori mulohazaning inkori —p: Madinaning ko'zi moviy emas —W: Seshanba kuni yomg'ir yog'madi; bo'ladi.
Ravshanki,p rost bo'lsa, yolg'on, p yolg'on bo'lsa —p rost mulohaza bo'ladi. Bu ma'lumot rostlik jadvali yordamida sharhlanadi. Bunday jadval p ga qarab yangi —p mulohazaning rostlik qiymati rost TI yoki yolg'on FI ligini aniqlaydi:

Mashqlar

32. 
    Quyidagilardan qaysi biri mulohaza bcŕladi? Agar u mulohaza bo'lsa, uning rost-yolg'onligi bir qiymatli aniqlanadimi?
    

1) Senga tarixiy kitoblar yoqadimi?

13. 
    Madina yaxshi kuylaydi;
    
14. 
    Sen Samarqandda tug'ilgansan;
    
15. 
    Qarama-qarshi burchaklar o'zaro teng;
    
16. 
    Parallel to•g'ri chiziqlar kesishadi.
    

32. 
    Mulohazalarning inkorini yozing, Bu mulohaza va uning inkori rostyolg'onligini aniqlang.
    

1. 
   p• barcha to'rtburchaklar parallelogramm bo'ladi;
   
2. 
   q: — irratsional son; c) r: 7 — ratsional son;
   

d) s: 23-14-12; e) t: 52:4-13;

6. 
   u: ixtiyoriy ikkita jun sonlar ayirmasi toq bo'ladi;
   
7. 
   p: ketma-ket natural sonlar ko'paytmasi doimo jun bo'ladi;
   
8. 
   q: barcha ostrnas burchaklar o'zaro tenga,
   
9. 
   r: barcha trapetsiyalar parallelogrammlardir•,
   
10. 
    s: agar uchburchakning ikki burchagi o'zaro teng bo'lsa, u teng yonli bo'ladi;
    

16

34.j x, y e R bo'lsin. Mulohazalarning inkorini yozing:
10.
35. Berilgan r, s mulohazalar uchun s mulohaza r mulohazaning inkori bo'ladimi?
Agar s mulohaza r mulohazaning inkori bo'lmasa, r mulohazaning to'g'ri inkorini toping.

1. 
   r: Madinaning bosyi 140 Sm dan baland; s: Madinaning bo'yi 140 Sm dan past;
   
2. 
   r: Akbar futbol bilan shug'ullanadi; s: Akbar musiqa bilan shug'ullanadi;
   
3. 
   r: Men bugun qora choy ichdim; s: Men bugun ko'k choy ichdim;
   
4. 
   r: Men Samarqandda bo'lganman; s: Men hech qachon Samarqandda bo'Imaganman.
   

2—misoL
Mulohazaning inkorini tuzing:
a) x — qovun, x E {qovunlar, tarvuzlar}; b) x 2, x E N;
a) x —tarvuz;
M•shq
06. Mulohazaning inkorini tuzing.
a)xe {1,2, 3,4}; b) x e {Otlar, qoyar};

4. 
   x — o'quvchi bola, x {o 'quvchilar};
   
5. 
   x — o•quvchi qiz, x {qizlar). Mulohazaning inkorini Venn diagrammasidan foydalanib ham tuzish
   

Diagrammada U — barcha sonlar to'plami, P to'plamp mulohazaning rt»tllk to'pl•mi, ya'ni u rost mulohaza bo'ladigan x laming tcŕplami, P' to'plam deb —'P inkorning rostlik to'plami tasvirlangan.
3-misol. { x I O < x < 10, x e N} davx—tub mulohazani qaraylik. p Va —p ning rostlik to'plamlarini toping.
P to'plamp mulohazaning rostlik to'pl•mi, P'to'plam —'p inkorning rostlik to'plami bo'lsin. U holdap- {2, 3, 5, - {1, 4, 6, 8, 9).
Bu țo•plamlar Venn diagrammąșida quyidagicb@łasyiflanądi;
2
3 9
Mashql•r
7. Mulohazalarning inkorini tuzing, Venn diagrammasida tasvirlang:
a) U {x | 20 < x < 30} dag x — tub son;
38. U — {10-sinfo'quvchilari}, M — {musiqa to'garagida shug'ullanadigan n o'quvchilar}, O = {orkestrda musiqa chaladigan o•quvchilar} bo'lsa, quyidagi mulohazalami Venn diagrammasida tasvirlang:

1. 
   musiqa to'garagida shug'ullanadigan barcha o'quvchilar orkestrda musiqa chaladilar;
   
2. 
   orkestrda musiqa chaladigan o'quvchilardan hech biri musiqa to'garagida shug' ullanmaydi;
   
3. 
   orkestrda musiqa chaladigan o'quvchilaming hammasi musiqa to'garagida shug'ullanmaydi.
   

•39. { x | 5 < x < 15, x € N} dag < 9 mulohazani Venn diagrammasida tasvirlang va -np inkorning rostlik to'plami elementlarini yozing.
40. U = {xl < 10. x E N} Venn diagrammasida tasvirlang va inkorning rostLik to'plami elementlarini yozing.
Konyunksiya
Agar ikki mulohaža ”va” so^czi bilan bog'lansâ, hok\iŃ1gan yangi berilgan mulohazalar konyunksiyagi dcyiladi.
mulohazalarnieg kppyunksiyasipnq belgilapadi.
p: Eldor tushlikda palov yedi•, q: Eldor tushlikda somsa yedi.
Mulohazalarning konyunksiyasi quyidagicha bo'ladi: pAq: palov somsayedi.
Ko'rinib turibdiki, pAq mulohaza Eldor tushlikda ham palov, ham somsa yeganda, ya'ni p, q mulohazalarning ikkalasi ham rost bo'lgandagina rost bo'ladi Agarp, q mulohazalarning birortasi yolgson bo'lsa, u pAq mulohaza rost bo'Imaydi.
p, q mulohamlarning konyunksiyasi quyidagi rostlikjadvaliga ega:

PM

p. q mulohamlarning ikkalasi ham rost bo'lganda
T T T
pAq rost bo'ladi,
p, q mulohazalarning birortasi yolg'on bo'lganda
F F pAq mulohaza yolg'on bo'ladi.
Birinchi va ustun.larp. q mulohazalarning mumkin bo'Igan rostlik qiymadaridan tashkil topgan.
D iagrammadaPto'p1amp mulohazaning, Q to'plam esa q rostlik to'plamlari bo'lsa, pAq mulohazaning rostlik to'plami ikkala mulohazarost bo'lgan P n Q to'plam bo'ladi:
pn O
Mashqlar
141. Quyidagi mulohazalarning konyunksiyasini yozing:

1. 
   p : Madina — terapevt; q: Munisa — stomatolog;
   
2. 
   p: x son 15 dan katta; q: x son 30 dan kichik;
   
3. 
   p: havo bulutli; q: yomg'ir yog'moqda;
   
4. 
   p: Olimning sochlari qora; q: Olimning ko'zlari moviy, *42. pAq mulohazaning rost-yolg'on ekanligini aniqlang:
   

1. 
   p: 5 — toq son; q: 5 — tub son;
   
2. 
   p: kvadrat to'rtta tomonga ega; q: uchburchak beshta tomonga ega; q: 16>23;
   

d)p: 12 soni 3 ga bo'linadi; q: 12 soni 4 ga bo'linadi;
e) p: 5+8 = 12; q: 6+9 = 15.
U — {x | 1 < x 12, x e Z} uchunp:x—juftson, q: x soni 7 dan kichik mulohazalar berilgan.

19

1. 
   Venn diagrammasida p, q mulohazalarning rostlik to'plamlarini;
   
2. 
   pAq mulohazaning rostlik to'plamini tasvirlang.
   

Dizyunksiya
Agar ikki mulohaza 'îyoki” ÂÓ'zi bilan bog'lansa, hosil bo'lgan gnulohaza berilgan mulohazalar dizyunksiyasi deyiladi.
V, q dizyunksiyasipvq kabi belgilanądi,
Masalan, p: Eldor bugun kutubxonaga bordi; q: Eldor bugun teatrga bordi. Mulohazalarning dizyunksiyasi quyidagicha ifodalanadi: pVq: Eldor bugun yoki kutubxonaga yoki teatrga bordi.
Ko'rinib turibdiki,pvq mulohaza Eldor bugun kutubxona yoki teatrdan biriga yoki ikkalasiga borganda rost bo'ladi.
Agarp, q mulohazalarning ikkalasi yolg'on bo'lsa, u holdapvq mulohaza rost bo'Imaydi.
p, q mulohamlarning dizyunksiyasi quyidagi rostlik jadvaliga ega:

D iagrammada P to'plam p mulohazaning, Q to'plam esa q mulohazaning rostlik to'plamlari pVq mulohazaning rostlik łowami ulardan kamida biri rost bo'lgan P U Q to•plam bo'ladi:

44. 
    pVq mulohazaning rost-yolg•on ekanligini aniqlang:
    
    1. 
       p: 24 goni 4 ga bo'linadi, q: 24 soni 6 ga bo•łinadi;
       
45. 
    pVq mulohazaning rost-yolg'on ekanligini aniqlang:
    
    1. 
       p: 5 va 9 sonlarining O'rta arifmetigi 7 ga teng, g: 8 va 14 sonlarining o'rta arifmctigi 10 ga teng;
       

5+8 = q: 6+9= 15.
46, p: x son 3 ga karrali, q: x — tub son mulohazalami qaraylik.
a) Vcnn diagrammasida p, q mulohazalarning rostlik to'plamlarini
n pvq; mpAq mulohazaning rostlikto•plamlarini
47.” U = {x I I IZ x e Z) uchun:
p: x — tub son, q: x son 12 ning bo'luvchisi mulohazalarni qaraylik.
a) Bcrilgan Vcnn diagrammasida p, q mulohazalarning rostlik to'plamlarini tasvirlang; pVq; IIIpAq mulohazaningrostlik to^splamlarini
x: Sardor ertaga suzishga boradi; y: Sardor ertaga futbolga boradi.
Quyidagilarni x, y va —1, v, mantiqiy bog'lovchilar yordamida ifrdalang•.

1. 
   Sardor ertaga suzishga bormaydi;
   
2. 
   Sardor ertaga suzishga va fiitbolga boradi;
   
3. 
   Sardor ertaga yoki suzishga, yoki futbolga boradi;
   
4. 
   Sardor ertaga na suzishga, na futbolga boradi;
   

   9.

5. 
   Sardor ertaga suzishga boradi, ammo futbolga bot•maydi, Gaplarni n, V, A mantiqiybog'lovchilaryordamida ifodalang:
   

1. 
   Sardorga muzqaymoq va salqin ichimliklar yoqadi;
   
2. 
   Sardorga muzqaymoq yoqadi, arnmo salqin ichimliklar ycxłmaydi;
   
3. 
   x soni 10 dan katta bo'lgan tub sondir•,
   
4. 
   kompyuter ishlamaydi.
   

50. Mulohazalar Sardorning taxminiy kun tartibini belgilaydi: p: Sardor erta turdi; q: Sardor nonushtaga qaymoq yedi; r: Sardor tushlikka sho'rva ichdi; s: Sardor kechki ovqatga palov yedi; u: Sardor sport bilan shug'ullandi; v: Sardor kitob o'qidi.
Quyidagilarni tabiiy tilda ifodalang (ayting):
b)s; c) q Au•, d) r As; e)rvs;
8-9 MANTIQIY TENGKUCHLILIK. MANTIQIY QONUNLAR
Ma'nosiga qarab tabiiy tildagi sodda mulohazalarni harflar bilan erkin belgilab inkor, konyunksiya va dizyunksiya kabi mantiqiy bog'lovchilar yordamida murakkabroq mulohazalarning rost-yolg'onligiga e'tibor bermasdan simvolik (ramziy) ko'rinishlarini tuzaylik.

Tabiiy tildagi mulohaza	Simvolik shakli
I. Salim uyda emus. Mablag• osonlikcha topilmaydi. Rashidning kitob o'qiyotganligi noto'g•ri. Maryam Buxorodan ekanligi yo•lg' on.
Konyunksiya: Akmal va Sunnat ikkalasi o'qituvchi. Bobir harnda A'lo sport bilan shug'ullanadi. Bobir kuchli, ammo RIO undan kuchliroq. 8. Barcha media (Lxborot) vositalari qarshi bo'lsa ham, "Barselona” futbol klubi eng yaxshi klub deb to Dizyunksiya: I O. Ra'no yoki metroda yoki avtobusda keladi. 11. BobivypF RIO sportning bu turini tanladi.	AAS BAA BAA MAB
	BVA

[nkor, konyunksiya va dizyunksiya uchun rostlikjadvallarini umumlashtirib, murakkabroq mulohazalar uchun rostlikjadvallarini tuzish mumkin:

'-miso'. p V —q mulohazaning rostlik jadvalini tuzing.

2 —misol. V —p mulohaza tavtologiya ekanligini isbotlang. Rostlik jadvalini tuzamiz:
p V —'p mulohaza doimo rost qiymatlarni (uchinchi ustunga qarang) qabul qilgani bois u tavtologiya bo'ladi.
îkkita mulohazaning rostlik jadvaliaridagi mos ustunlar bir hil bo'lsa, bu;
„mantiqiy tengkuęhlidey
3-misoL —'(pAq) va —pV—q mulohazalar mantiqiy tengkuchli ekanligini

—•(pAq) va —p v —q mulohazalarning rostlik jadvallaridagi mos ustunlar bir xil, demak, bu mulohazalar mantiqiy tengkuchli.
Bu munosabatni —'(pAq) —p V —q kabi ycyzamiz.
Mashqlar
$51. Mulohazalar uchun rostlik jadvallarini tuzing:
b) -'(pvq);d) pVp. '52. Mulohazalar tavtologiya bo'ladimi: