To’g’ri chiziqda dekart koordinatalari. Fazoda va tekislikda dekart koordinatalari. Analitik geometriyaning sodda masalalari. Ikki nuqta orasidagi masofa. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. Afin koordinatalari

Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari
Ta’rif: Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi, agar ikkita o‘zaro perpendikulyar o‘q, ularni kesishish nuqtasi

y O (sanoq boshi) va masshtab birligi berilgan

bo‘lsa. Odatda bu o‘qlarni biri gorizontal,

M ikkinchisi vertikal joylashgan bo‘ladi.

( R. Dekart, fransuz olimi (1596-1650))

II I gorizantal o‘qni abssissalar o‘qi (Ox), x vertikal o‘qni ordinatalar (Oy) o‘qi deyiladi.

III IV ch-1

Bu o‘qlarni ikkalasi koordinata o‘qlari, ularning kesishgan nuqtasi (sanoq boshi) koordinata boshi deyiladi. Koordinatalar boshi OX o‘q uchun ham, OY o‘q uchun ham sanoq boshlanadigan nuqta hisoblanadi. O‘qlarni har birida musbat yo‘nalishlar strelkalar bilan ko‘rsatiladi. Nuqtaning tekislikdagi o‘rni anna shu koordinatalar sistemasiga nisbatan aniqlanadi.

Tekislikda biror M nuqtaning (ch-1) o‘rini aniqlash uchun bu nuqtadan, OX va OY o‘qlariga perpendikulyar tushiramiz va koordinati o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini R va Q bilan belgilaymiz.
M nuqta berilgan bo‘lsa, ravshanki R va Q nuqtalar aniqlanadi va R,Q ma’lum bo‘lsa, M nuqtani o‘rnini aniqlash oson. Ma’lumki, kesmalarning uzunliklari biror uzunlik birligi bilan o‘lchanadi. SHu tufayli koordinata o‘qlarida masshtab birligi tanlab olingan bo‘ladi: x=or, u=oQ deb belgilasak, bu sonlar yordamida tekislikda faqat bitta M nuqtani topamiz; x soni M nuqtani abssissasi, u soni esa uni ordinatasi deyiladi va M(x;u) ko‘rinishda yoziladi. Masalan M (4;-5) bo‘lsa x=4, u=-5 ekanini bildiradi.
Nuqta berilgan deymiz, agar uning koordinatalari berilgan bo‘lsa, koordinata o‘qlari tekislikni to‘rt bo‘lakka ajratadi, bu bo‘laklar choraklar deyiladi (ch-1).


Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi
Tekislikdagi Dekart koordinatalariga o’xshash fazodagi koordinatalar ham aniqlanadi, o’zaro perpendikulyar son o’qlari, umumiy 0 nuqtadan o’tsin. Fazoda nuqtaga uchta haqiqiy son va aksincha uchta haqiqiy songa bitta nuqta mos keladi. Bu moslik ham bir qiymatlidir. Bu sonlarga nuqtaning fazodagi koordinatalari deyiladi. abtsissasi, ordinatasi, aplikatasi deb ataladi. Koordinat o’qlaridan o’tuvchi tekisliklarga koordinat tekisliklari deyiladi va ular fazoni 8 ta bo’laklarga - oktantlarga ajratadi. nuqtaning koordinatalari radius vektorning ham koordinatalari bo’ladi.
Fazodagi analitik geometriyada ham quyidagi sodda masalalar qaraladi:
1) fazodagi berilgan va nuqtalar orasidagi masofa,
formula bilan aniqlanadi;
2) kesmani nisbatda bo’luvchi nuqtaning koordinatalari
formulalar yordamida topiladi.
Fazoda nuqtaning o‘rnini aniqlash uchun bir-biri bilan to‘g‘ri burchak hosil qilib kesishadigan uchta H,Q,R tekisliklarni qaraymiz. Bu tekisliklarni koordinata tekisliklari deb ataladi. R,Q,R tekisliklar OX,OY,OZ to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha kesishadi, bu chiziqlar koordinata o‘qlari deyiladi va OX abssissa o‘qi, OY ordinati o‘qi va OZ applikatalar o‘qi deb ataladi. Bu uch o‘qning kesishgannuqtasi O koordinatalar boshi deyiladi. Koordinata tekisliklari o‘zaro kesishib fazoni sakkiz qismga (bo‘lakka) ajratadi. Bu bo‘laklar oktantlar deyiladi.
Bu keltirilgan koordinata sistemasi fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasi deyiladi. Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasini qisqacha quyidagicha ta’riflash mumkin.
Ta’rif: Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi, agar 3ta o‘zaro perpendikulyar uq, ularni kesishgan nuqtasi O va masshtab birligi berilgan bo‘lsa. Fazoda har qanday nuqtaning o‘rni koordinata sistemasiga nisbatan 3ta son bilan aniqlanadi. Fazoda biror M nuqta va ma’lum masshtab birligi berilgan bo‘lsin (ch-4). M nuqtadan koordinata o‘qlariga perpendikulyarlar tushiramiz va ularni koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini
R,Q,S bilan belgilaymiz. Agar
Z R,Q,S nuqtalar berilgan bo‘lsa
S V M nuqtani topish mumkin. De-
mak M nuqtani fazodagi vaziya-
tini X=OR, Y=OQ va Z=OS

о
S M miqdorlar belgilaydi va ular
U M nuqtaning koordinatlari,
Q aniqrog‘i x M nuqtaning
abssissasi, U ordinatasi va
R A Z aplekatasi deyladi. Agar
X fazoda biror, M (x;u;z) nuqta
berilgan bo‘lsa, uni fazodagi vaziyatini quyidagicha aniqlash mumkin
(ch-5) OX o‘qidan x ni topamiz, OY o‘qidan uni topamiz. R nuqtadan OY o‘qiga parallel qilib, Q nuqtadan OX o‘qiga parallel qilib to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz va ularni kesishgan nuqtasini Q₁ bilan belgilaymiz. O₁ nuqtadan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziq o‘tkazamiz.

SHundan keyin z ni ishorasiga qarab, agar z > 0, bo‘lsa O₁dan yuqoriga qarab
Z uzunliga z bo‘lgan O₁Z va Z < 0 bo‘lsa
O₁ dan pastga qarab uzunligi O₁Z
. Z kesmi ajratamiz. O₁Z kesmani oxirgi
Q y nuqtasi biz izlayotgan M nuqtadir.
O M (5;6;3) nuqtani yasaylik: xq5 va uq6
x x kesmalarni topib, ularni oxiridan
R O₁ OX va OY o‘qiga parallel qilib uzuq
x y chiziqlar o‘tkazamiz, so‘ngri ularni
r-5 kesishish nuqtasi O₁dan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziqlar o‘tkazamiz. Z=3>0, bo‘lganidi. O₁ nuqtadan yuqorigi qarab 3 birlik o‘lchaymiz, shu kesmani oxiri, ya’ni O₁M kesma hosil bo‘ladi. Ana shu topilgan M nuqta biz izlayotgan nuqtadir
Takidlaymizki, M₁ (x;u) nuqta tekislikda,
M₂ (x;u;z) nuqta fazoda berilgan bo‘lsa.
M₁ni qaysi chorakda, M₂ esa qaysi aktantda
ekanligini quyidagi j-1 va j-2 jadvaldan
foydalanib aniqlash mumkin.
uqR M Q u
o
x=5 x=5

x O1
у=6 ch-6

Октантлар х;у;z) нуқта коор иш
Х У Z
I х>0 y>0 z>0
II x<0 y>0 z>0
III x<0 y<0 z>0
IV x>0 y<0 z>0
V х>0 y>0 z<0
VI x<0 y>0 z<0
VII x<0 y<0 z<0
VIII x>0 y<0 z<0 z

Чораклар (х;у) нукта коор иш
Х у

I х>0 y>0

II x<0 y>0
III x<0 y<0
IV x>0 y<0

Takidlaymizki, koordinatalar sistemasi faqatgina shu ko‘rsatilgan koordinatalar sistemasi emas, balki cheksiz ko‘pdir. Masalan tekislikda Dekart koordinatalar sistemasida OX va OY o‘qlari perpendikulyar bo‘lmasa, masalan burchak tashkil qilsa, bunday koordinata sistemasiga affin koordinata sistemasi deyiladi.

Amalda qutb, egri chiziqli, sferik va silindrik koordinata sistemalari keng qo‘llaniladi.
Misol uchun qutb koordinatalar sistemasi bilan tanishaylik. Tekislikni ixtiyoriy O nuqtasidan OX o‘qini o‘tkazimiz. Bu vaqtda tekislikdagi M nuqtaning vaziyati ikki miqdor bilan, O nuqtadan M

Nuqtagacha bo‘lgan masofa va
M r ning OX o‘qi bilan tashkil kilgan
Burchagi orqali aniqlanadi. O
Nuqta-qutb, OX o‘q qutb o‘qi, r esa
O \ x M nuqtaning radius vektori,
esa qutb burchagi deyiladi. r va
sonlar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M(r; ) ko‘rinishda yozilib, M (x;у)-M(r; )
u Agar to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini
koordinata boshi qutb bilan OX o‘qi
qutb o‘qi bilan ustma ust tushsa