To investigation of the mixed problem for systems of equations of compound type

Доказательство. Как видно

в случае (А) и








в случае (В), так как
; , ,
и дважды продифференцированная по и ряд выражающий функцию мажорируется рядом , а . Поскольку выполняется условие 2 , то отсюда следует, что выполняются следующие неравенства и (в случае ) причем . Что и обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость рядов и дважды продифференцированных по и рядов.
Рассмотрим теперь случай , т.е. условия (10) заданы в виде

в случае (А) имеем:

Следовательно, обозначая через

Учитывая рассуждения аналогичные при доказательстве предыдущей теоремы получаем.
Теорема 5. Пусть выполнены условия 2. Тогда функции и определяемые рядами (или имеют непрерывные производные до второго порядка включительно, удовлетворяют системе (3), начальным условиям при r=1 , j=0 и краевым условиям (11) . При этом возможно почленное дифференцирование рядов (или ) по x и t два раза, и полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно.
Аналогично, можно привести доказательства теорем для случаев .
Пусть , причем -произвольная -мерная область, содержащаяся вместе с границей (типа Ляпунова) в некоторой открытой -мерной области , , - - мерный цилиндр. Пусть -определенный в области самосопряженный дифференциальный оператор
(12)
эллиптического типа, т.е. такой, что всюду в области D
, , , >0, (13)
для всех вещественных . Кроме того, предполагается, что
, , . (14)
Исследуем вопрос о разрешимости начально-краевой задачи для системы
(15)