Tizimlarni moddellashtirish

Назорат саволлари

1. 
   Қандай тенгламаларни дифференциал тенгламалар деб атаймиз?
   
2. 
   Оддий дифференциал тенгламаларга таъриф беринг?
   
3. 
   Умумий ечим нима?
   
4. 
   Хусусий ечим нима? Дифференциал тенгламаларни тақрибий ечиш зарурияти қаердан келиб чиқади?
   
5. 
   Дифференциал тенгламалар ни тақрибий ечишнинг қандай усулларини биласиз?
   
6. 
   Эйлер усулининг ишчи алгоритми? Ейлер усулининг қандай камчилиги ва афзаллиги бор?
   
7. 
   Рунге-Кутта усулининг ишчи алгоритми?
   
8. 
   Рунге-Кутта усулининг қандай камчилиги ва афзаллиги бор?
   
9. 
   Дифференциал тенгламаларни тақрибий ечиш зарурияти қаердан келиб чиқади?
   

Laboratoriya ishi №8
Mavzu: Тор тенгламани ечиш услублари
Ishning maqsadi: тор тебраниш тенгламасининг ечиш услубларининг физик мохияти ва оғиш тўлқини тарқалиш жараёни ўрганиш.Talabalarda тор тенгламаларни ечиш услублари bo’yicha ko’nikma hosil qilish. Berilgan topshiriqni qo‘yilgan ish reja asosida bajarishni o’rgatish.
Topshiriqning berilishi:
1. Даламбер усули Чексиз тор тебраниш масаласини карайлик, яни қуйидаги биржинсли тенгламани келтириг
2. тор тебраниш тенгламасининг физик мохияти кўрсатинг.
3. Оғиш тўлқини тарқалиш жараёни ифодаларини келтириб кўрсатинг.
4. Импульс тўлқини тарқалиши (тўлқин кейинги натижалари)
1.Даламбер усули. Чексиз тор тебраниш масаласини карайлик, яни қуйидаги биржинсли тенгламани

(2.1)
бошланғич ва чегаравий шартлар ёрдамида ечайлик
(2.2)

бундаги ва функциялар бутун сонли ўқда берилган бўлсин. Излаётган функция учун хеч кандай чегаравий шартлар қўйилмасин. Бундай масалалар бошланғич шартли масалалар деб юритилади. Бундай масаларни ечиш усулига Даламбер усули еки тўлқин тарқалиш усули деб аталади. (2.1) масаланинг умумий ечим куриниши қуйидагичадир

Бундаги и функциялар номаълум булиб икки марта дифференциаланувчидир. Хакикатдан хам кетма-кет дифференциаллаб қуйидаги ифодаларни оламиз:
(2.3)

Топилган ифодаларни (2.1) га олиб бориб қўйиб уни каноатлантиришини курамиз. (2.2) бошланғич шартдан фойдаланиб номаълум функциялар ва ларни топайлик. (2.3) да t = 0 деб уни (2.2) даги биринчи шартдаги u(x,0)га олиб бориб қўйиб қуйидагига эга буламиз

(2.4)
да t = 0 деб (2.2) нинг иккинчи шартига кура қуйидаги тенгламага келамиз
(2.5)

Бу тенгликни 0 дан х гача интеграллаб қуйидаги ифодани хосил киламиз

ва уни куйдагича ёзиб оламиз
(2.6)

бундаги узгармас катталикдир

(2.4) ва (2.6) тенгламалар системасидан излаетган функцияларимиз ва топамиз
(2.7)

(2.7) да аргумент х ни мос равишда x-at ва x+at га алмаштирсак ва уни (2.3) га олиб бориб қўйиб u(x,t) функциясин топамиз

Биз

эканлигини хисобга олсак u(x,t) ечим қуйидаги куринишни олади
(2.8)
Формула (2.8) тор тебраниш тенгламаси Коши масаласининг Даламбер ечими деб аталади.
2. Олинган ечимнинг физик маносини аниклашдан аввал бу u(x,t) ечимда (2) катнашган функцияларни алохидадан текшириб чикамиз. Буни функциясидан бошлайлик, бунинг учун уни графигини ортиб борувчи кийматларда чизиб курамиз. ва х.к. булсин. Расм-1 даги иккинчи график биринчига нисбатан га силжиган, учдаги эса кийматга ва х.к. Агарда навбат билан бу расмларни бирор силжимас экранга олиб утсак, у холда кузатувчи энг юкоридаги изохланган расм унг томонга "югуришини" куради. Бу холда , агарда хаелан
Узгармас тезлик билан тор буйича унг томонга силжитсак , у холда торнинг доимо узгармас бир хил силжишини курамиз. Хакийкатдан хам нуктадан бошлаб харакат килинса t вактдан кейин x нуктага утиши учун

Га эга буламиз, лекин

2.Булганлиги сабабли торнинг бу харакатидаги силжиши жараени тўлқин деб аталади. Тор тебраниш тенгламасидаги коэффициент эса тўлқин тарқали тезлигини ифодалайди.

3. Оғиш тўлқини тарқалиш жараёни.

Фараз килайлик тор нукталарининг бошланғич тезлиги нольга тенгбулсин ва тор факатгина бошланғич силжиши натижасидагина тебрансин. Бу холда (2) формулада булиб бизнинг холда
,
Хосил киламиз. функция маълум булганлиги сабабли функция кийматини ихтийерий x ва t ларда хисоблашимиз мумкин. Юкорида 2. пункда айтилганидек тебраниш икки томонлама тўлқиндан иборатки: биринчи тўлқин тезлик билан унг томонга (тугри тўлқин), иккинчи тўлқин эса тезлик билан чап томонга (тескари тўлқин)тарқалади. Бошланғич t = 0 вактда иккала тўлқин устма уст тушади.
Фараз килайлик бошланғич вактда функция факатгина (-l , l) ораликда нольдан фаркли булсин. Баен килишни соддалаштириш учун функцияни жуфт функция деб карайлик. У холда x < - l ва x > l да = 0 булади. Бу холда ихтиёрий вактда геометрик нуктаи назардан торнинг узгаришини кузатишимиз мумкин булади.
2-расмнинг чап устунида хар хил вактларда чапга югирувчи тўлқин тасвирланган, уртадаги устунда шу вакт оралигида унг томонга югурувчи тўлқин тасвирланган. Уртадаги устунда иккала тўлқин игиндиси яни тор нухталарининг хосилавий силжиши изохланган.
Вакт бирлиги булгунча хар иккала тўлқин устма уст тушади вактдан бошлаб улар айирича иккала томонга караб тарқала бошлайди.

4. Импульс тўлқини тарқалиши (тўлқин кейинги натижалари)

Фараз килайлик тор нукталари силжиши бошлангиш холда нолга тенг булсин, лекин у тор тебраниши сабабли унинг хар бир нухталарда бошлангиш вактларда бошланғич тезлик олганлиги сабабли тебрансин . Бундай холларда тор буйича импульс тўлқини тарқалаяпти дейилади. (3) да = 0 деб карасак
Где

Ларни хосил киламиз. Бу холда хам 3 п. Да айтилгандек ечим иккита тўлқин йигиндисидан хосил булади: тугри тўлқин ва тескари тўлқин . t = 0 боўлангич вактда уларнинг биринчисининг куриниши , иккинчисиники эса тенгламаларни беради. Натижада ни хосил киламиз.
Бу жараен шаклини куз олдимизга келтириш учун ва соддалаштириш максадида F(x) функцияни
(- l , l ) ораликдан ташкаридаги барча нухталарда нольга тенг деб, оралик ичида эса узгармас кийматга эга деб оламиз. Бошкача килиб айтганда ( - l , l ) ораликда юкорига йуналтирилган бошланғич тезлик тасир этсин. Бундай холатда F(x) функция нухталарда узилишга эга булади. функцияси эса қуйидаги кийматларни кабул килади

бунда . функцияси узликсиз ва ток функциядир (3-расмга каранг)