Tizimlar va signallarni qayta ishlash

V.A. Kotelnikov tomonidan spektri yuqori chastotasi chegaralangan funksiya (signal) uchun teorema yaratilgan. Ushbu teorema quyidagicha ta’riflanadi: spektrining eng yuqori chastotasi bilan chegaralangan funksiya (signal) o‘zining sekund vaqt oraliqlarida olingan oniy qiymatlarining ketma-ketligi orqali to‘liq qayta tiklanadi. Ushbu teoremaga asosan spektrining eng yuqori chastotasi bo‘lgan uzluksiz signal ni quyidagi qator orqali ifodalash mumkin:

bunda, – ikki qo‘shni diskretlash vaqti oralig‘idagi qiymat, – uzluksiz signalning vaqt oraliqlarida olingan oniy qiymatlari.
(7.2) interpolyatsiyalash qatori – Kotelnikov qatori deb ataladi. Uzluksiz signal ni Kotelnikov qatori bilan interpolyatsiyalash mumkinligini ko‘rib chiqamiz. Spektri kengligi chegaralangan signal uchun Fure almashtirishini qo‘llab signal spektrini quyidagicha ifodalaymiz:

bunda, chastotalarda bo‘lishini e’tiborga olish natijasida hamda past chastotani anglatuvchi o‘rniga umumlashgan holatni e’tiborga olgan holda dan foydalanib, signalning kompleks spektri orqali Fure teskari almashtirishidan foydalanib uzluksiz signal ni aniqlaymiz:

Signal spektri ni (3.9 ifoda) chastotalar oralig‘i uchun quyidagi qator ko‘rinishida ifodalash mumkin:

(7.5) ifodadagi signal spektri tashkil etuvchilarining koeffisientlari bo‘lib, u quyidagi formula orqali aniqlanadi:

(7.4) va (7.6) ifodalarni taqqoslash shuni ko‘rsatadiki ular bir-biri bilan o‘zgarmas kattalikkacha aniqlik bilan bir-biriga mos keladi, bunda uzluksiz vaqt deb qabul qilinadi, natijada

(7.7) ifodani (7.5) ifodaga qo‘yib signal spektri funksiyasini quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:

(7.8) formulani (7.4) formulaga qo‘yamiz, bunda qator yig‘indisi alohida tashkil etuvchilari ning hamma musbat va manfiy qiymatlari uchun aniqlanishini e’tiborga olib ondagi minus belgisini plyusga almashtirish mumkin. Bundan tashqari (8.8) qatorni Fure integraliga yaqinlashishini e’tiborga olib integrallash va yig‘ish (qo‘shish) amallarini bajarish ketma-ketligini almashtirish mumkin, ya’ni avval integrallash amalini so‘ngra qo‘shish amalini bajarish mumkin. U holda


(7.9) formuladagi integrallash natijasi

ni e’tiborga olsak, (7.9) formula (7.2) ko‘rinishni oladi.
(7.2) ifodadan ko‘rinadiki, spektri chastota bilan chegaralangan signal o‘zining

oraliqlarda olingan qiymatlari orqali qayta tiklanishi mumkin.
Uzluksiz signal ikki tashkil etuvchidan: birinchisi signalning vaqtlarda olingan oniy qiymatlari ; ikkinchisi esa uzluksiz signalni vaqt bo‘yicha asos (bazis) funksiyasi

dan iborat bo‘lib, bu funksiyaning grafigi 8.3-rasmda keltirilgan.









7.3-rasm. Vaqt bo‘yicha ortogonal bazis (asos) funksiya

Oniy qiymat bazis funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   vaqtlarda va vaqtlarda , bunda – ga teng teng bo‘lmagan musbat yoki manfiy butun son;
   
2. 
   vaqt funksiyasining spektri zichligi chastotalar oralig‘ida bir tekis bo‘lib, qiymati ga teng.
   

Uzluksiz signal ni bazis funksiya orqali tasvirlashga tegishli chizma 8.4-rasmda keltirilgan. Vaqt bazis funksiyasi ni ba’zan Kotelnikov funksiyasi deb ham ataladi.
(7.2) formulani keltirib chiqarishda uzluksiz signal Direxle shartiga javob beradi deb qabul qilingan. Shuning uchun olingan natijani da qiymati nolga teng bo‘lmaydigan signallarga nisbatan qo‘llash imkoniyatini bermaydi.

7.4-rasm. Uzluksiz signalni Kotelnikov qatori orqali qayta tiklashga oid

Kotelnikov teoremasi spektri kengligi chegaralangan, cheksiz davomiylikka ega bo‘lgan signallarga tegishli. Haqiqiy signallar ma’lum bir davomiylikka ega bo‘ladi. Har qanday davomiyligi chegaralangan signal cheksiz keng spektrga ega bo‘lib, (7.2) ifodani haqiqiy – real signallarga nisbatan qo‘llash uni qayta tiklashda ma’lum darajada tiklangan signalning diskretizatsiyalangan uzluksiz signaldan farqlanishiga olib keladi, bunga sabab diskretizatsiyalash oralig‘i (7.10) ni tanlash yoki diskretlash chastotasi ni tanlashdagi noaniqlikdir. Shuning uchun Kotelnikov teoremasini qayta tiklangan signal uzatilgan diskretizatsiyalangan signal lar asosida aniqlikda amalga oshirish uchun qo‘llash mumkin emas, amalda bunday aniqlik talab etilmasligi, aniqlik mezoni berilgan holatlarda foydalanish mumkin.

Davomiyligi bo‘lgan va spektri eng yuqori chastotasi bo‘lgan signaldan

ta bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan oniy qiymatlarni olish mumkin.
(7.12) ifodani e’tiborga olib (7.2) formulani quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:

ning qiymati signalning bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan bazis funksiyalari soniga teng bo‘lib, ba’zan uni signalning erkinlik darajasi, bazasi deb ham ataladi.
Uzluksiz signalni Kotelnikov qatori orqali ifodalash aloqa kanallarini vaqt bo‘yicha zichlab, ikki qo‘shni diskret vaqt oralig‘ida boshqa axborot manbalaridan olingan signallarni uzatish imkoniyatini yaratadi. Signallarni ushbu asosda shakllantirish vaqt diagrammalari 7.5-rasmda keltirilgan.

7.5-rasm. Vaqt bo‘yicha zichlashgan aloqa tizimida guruh signalini shakllantirish

Kotelnikov teoremasi impuls modulyatsiyasi signallarini shakllantirishda uning tashuvchisi vazifasini bajaruvchi impulslar takrorlanish chastotasini tanlash, har qanday spektri kengligi va davomiyligi cheklangan uzluksiz signallarni raqamli shaklda uzatish imkoniyatini beradi. Aloqa tizimida bir qator afzalliklarga ega bo‘lgan raqamli sxemotexnikadan, signallarga raqamli ishlov berish usullaridan, axborotni raqamli shaklda xotirada saqlash, turli kodlash usullaridan foydalanib axborot uzatish xalaqitbardoshligini oshirish, signallarni regeneratsiya qilish, turli integral mikrosxemalardan aloqa tizimi qurilmalarida foydalanish har qanday signalni yagona raqamli shaklda uzatish imkoniyatini yaratdi.
Uzluksiz signal ni dsikretlash natijasia uning vaqtlarda olingan oniy qiymatlari ga mos keluvchi impulslar ketma-ketligi shakllanadi. Analog signal spektri ni diskretlangan signal spektri bilan bog‘liqligini aniqlaymiz.
Diskretlangan signalni analog signalning vaqtlardagi oniy qiymatlarga proporsional -funksiyalar ketma-ketligi shaklida ifodalash mumkin (8.6-rasm), ya’ni

funksiya faqat vaqtlarda nolga teng bo‘lmasligini e’tiborga olib, (7.14) formulani quyidagi shaklga keltirish mumkin:

(7.15) fomuladagi yig‘indi (summa) – bu davriy funksiya bo‘lib, uni quyidagi Fure qatori ko‘rinishiga keltirish mumkin:

Ushbu qatorning koeffitsientlari ni aniqlaymiz.

bunda, – diskretlash chastotasi.
koeffisientlarni hisoblashda -funksiyaning tanlovchanlik hossasi va integrallash oralig‘i ( ) ga ( bo‘lganda) faqat bitta -funksiya tushadi.
Shunday qilib, davriy takrorlanuvchi -funksiyalarni quyidagi Fure kompleks qatori shaklida ifodalash mumkin:

U holda

Fure almashtirish xossasidan ma’lumki, signalni ga ko‘paytirish, ushbu signal spektrini o‘ng tomonga ga siljishiga olib keladi. Shuning uchun diskretlangan signal spektrini quyidagicha ko‘rinishda ifodalash mumkin:

Shunday qilib, diskretlangan signal spektri analog signal spektrining o‘ng tomonga siljigan cheksiz ko‘p nusxalaridan iborat bo‘ladi. Qo‘shni spektrlar nusxalari orasidagi spektr siljishi qiymati diskretlash chastotasi ga teng bo‘ladi (7.6-rasm).
Diskretlangan signal spektri Fure to‘g‘ri va teskari almashtirishlari chastota va vaqtning bir-biriga bog‘liqligini tasdiqlaydi. Agar signal diskret bo‘lsa, uning spektri ham diskret bo‘ladi va spektr davriy takrorlanuvchi bo‘lsa, signal diskret bo‘ladi.
Uzluksiz signalni uning diskret vaqtlardagi oniy qiymatlari asosida tiklash usuli 8.6-rasmda keltirilgan. Buning uchun diskret signalni chastota o‘tkazish polosasi kengligi diskretlash chastotasining yarmiga teng bo‘lgan past chastotalar filtridan o‘tkazish kerak bo‘ladi. Ushbu past chastotalar filtri amplituda-chastota xarakteristikasi 8.6-rasmda punktir chiziq orqali belgilangan.
Uzluksiz signalni aniq qayta tiklash uchun uning diskret oniy qiymatlarining spektri bir-birining ustiga qisman bo‘lsa ham tushmasligi kerak. Buning uchun diskretlash chastotasi uzluksiz signal chegaraviy qiymati dan kamida 2 marta katta bo‘lishi talab etiladi, ya’ni , natijada bo‘lishi kerak.





7.6-rasm. Diskretlangan signal va uning spektri

Uzluksiz signalni uning diskret qiymatlari yig‘indisi sifatida ifodalash diskret signallar spektrini tahlil etishni soddalashtiradi. Diskretlangan uzluksiz signal spektri ni uning vaqtlardagi oniy qiymatlari orqali aniqlash mumkin.

Shuni ta’kidlash kerakki, (7.16) formulada ko‘paytma borligi uchun diskretlangan signal spektri 1/sek o‘lchamiga, ya’ni - siklik chastota o‘lchov birligiga mos keladi.