Tiykarınan risk funksiyası hám atap aytqanda kvadratik risk arqalı uyreniledi

. Effektiv bahalaw. Kramer-Rao teńsizligi
Biz noqatlıq statistikalıq bahalaming ózgesheliklerin úyreniwde olarning tıyanaqlıǵı, jıljımaǵanlıǵı hám risk funksiyalarına bólek itibar
berip óttik. Bahoning tıyanaqlı boMish ózgesheligi tańlanma kólemi sheksiz
arttırılǵandagina kórinetuǵın boMsada, kishi kólemde baha ózgesheligi
tiykarınan risk funksiyası hám atap aytqanda kvadratik risk arqalı uyreniledi.
Jıljımaǵan baha ushın kvadratik risk dispersiya menen ústpe-úst
túsedi. Bul halda dispersiyasi eń kishi boMgan baha eń jaqsı dep
esaplanadı. Bólistiriwler shańaraǵı ushın málim shártler qo' jılǵanida
bunday dispersiyalar ushın tómen shegaranı kórsetiw múmkin eken.
Bul paragrafda biz skalyar parametr boMgan halda KramerRaoning teńsizligin tastıyıqlaymız.
- parametrik statistikalıq modeldi qaraymız. Hár bir gúzetilbediń
f (x, 9 ) tıǵızlıq funksiyası ushın regulyarlik shártleri kiritemiz:
(I) jv (/) = {x:/ (x, 0) > O } - jıynaq ǵa baǵ liq emes;
(II) © = R yamasa © - jıynaq R dagi interval ;
»=i
funksiyasın qarayotganimizda (I)-(v) shártlerda/ o'mida f n ni isle-
301
(III) -^-/ (x, <9 ) - tuwındı ámeldegi hám { i^, 0 e© } g a salıstırǵanda
derlik barlıq jerde © ushın chekli;
(Iv) v 0 € © hám i= 1, 2 ushın J - ^ / ( *, 0 ) ju (ak) (v) v 0 G 0 : OBiz Xm tańlanmaning f n {xin), e) = Y \f{xt, e ) – zichli
Tam ız hám integrallar jıynaq b o 'yich a túsiniledi. I (ol ) funksiya
t. m. dagi i parametr haqqındaǵı F jumıs er ın form a tsiya si dep ataladı.
Bul
1№ H) * ) L ' M Ya
Sh| 'e ) ='$ 0 ]nf n b k £ ) ;>, i= h -, n,
- funksiyalar informantlar dep ataladı.
1-lem m a. A er (I)-(Iv ) shártler atqarılsa, ol halda
M0 I{Z£) = 0, v 0 6 0. (1)
Tastıyıqı.j/ ( jc, 0 ) / i ( A ) = 1 teńlikti ^ boyıch a differensiallaym ız:
- ^ j f ( x, 9 ) M (d x ) = 0, v6'=®
yamasa
\ j^ f (x, e) n { d x ) = \1{x, v) rv (dx) = m v1 (4, e) = 0, v 0 6 ©
bul bolsa 1-lemmani tastıyıqlaydı.
I x (n) ( v ) = Mv \_1„{xm, inform atsiya funksiyası boMsin.
2-lem m a. {/p{x ^ " \ v), ve ©} ushın (I) — (v ) shártler orınlansın.
Ol halda
1 xM ( ye ) = p 1 { ye), v ye v. (2)
Tastıyıqı. Induksiya metodı menen ańsatǵana ornatıladı. Sonday eken,
informatsiya funksiyası additivlik ózgesheligine iye eken.
3-lem m a. A er (I)-(v ) shártler atqarılsa, ol halda v 0 e 0
m « ( sh sh / (* ;0}) = - m < > (^ 1 p/ (4;0) } (3) Tastıyıqı. M v
( d2. d o 2
ın № \ v) ańlatpanı tómendegi kóriniste yozish múmkin:
d2
M0 5 Jnn m = s e e :---------- > t v i s k ) =
\
d2
= i ^ f ^ ^ M d x ) ~ M e i2 ( 4 ; e i.
(Iv ) qasiyetke kóre
± T l f ( x, 9 ) M (dx) = j - ^ r f ( x, e ) M (dx) = 0, v 9 e ®.
Bul bolsa 3-lem m ani tastıyıqlaydı.
t (xM):(&M, 0 G<" \{Rv, v ye G})-> ($r, - statistikanıń inform atsiya funksiyası IT ( 9 ) boMsin. Tastıyıqsız quyidagi zárúrli dawanı keltiram ız.
4-lem m a. {Pg, 9 e. 0 } hám {Qg, 9 e 0 } bóliw atlar qaǵıydası ushın
(I)-(v ) regulyarlik shártleri orınlansın. Ol halda
Tt (9 ) < 1 x1 ya) ( 9 ) ol v ye &. (4)
Bul jerde teńlik tek hám tek T - jetkilikli statistika bolǵanıdagina
eriwiladi.
Sonday eken, T - variatsion qatar b o 'lsa, (4 ) de teńlik atqarılar eken.
Bul bolsa kuzatm ruwxıy azap i tártiplew nátiyjesinde inform atsiyaning kem aym asligin i ańlatadı (sebebi bul halda T hám X ln) ekvivalent trivial jetkilikli
statistikalar bolıp tabıladı).
Q úyindegi teoremada jıljım agan bahalar dispersiyasi ushın tómen
shegara m avjudligi kórsetilgen.
1-teorem a (Kram er-Rao). {f n{x (n), 9 ), 9 e &} shańaraq ushın (I )-
(v ) shártler orınlansın hám differensiallanuvchi g (9 ) funksiyaǵa jıljım agan g n ( x tn>) bahası ushın v 0 e © larda