Типографияга 23-12 алгоритмлар ва С++

Ketma-ket yaqinlashuvchi yoki iteratsiali algoritmlar

Yuqori tartibli algebraik va transsendent tenglamalarni yechish usullari yoki algoritmlari ketma-ket yaqinlashuvchi – iteratsiali algoritmlarga misollar bo‘ladi. Ma’lumki, transsendent tenglamalarni yechishning quyidagi asosiy usullari mavjud:

• 
  urinmalar usuli (Nyuton usuli),
  
• 
  ketma-ket yaqinlashish usuli,
  
• 
  vatarlar usuli,
  
• 
  teng ikkiga bo‘lish usuli.
  

1-misol. Bizga f(x)0 (1) transendent tenglama berilgan bo‘lsin. Faraz qilaylik, bu tenglama [a,b] oraliqda uzluksiz va f(a)*f(b)<0 shartni qanoatlantirsin. Ma’lumki, bunday holda berilgan tenglama [a,b] orilaqda kamida bitta ildizga ega bo‘ladi va u quyidagi formula orqali topiladi.

X  X

• 
  f ( X _n )
  

n  0,1,2,...
(2)

n1

n
ⁿ f ^' ( X )

Boshlang‘ich X₀ qiymat f (x₀ ) f ^'' (x₀ )  0 shart asosida tanlab olinsa, (2) iteratsiya albatta yaqinlashadi. Ketma-ketlik

X _n1  X _n  
shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi.


2-misol. Berilgan musbat a haqiqiy sondan kvadrat ildizini hisoblash algoritmi tuzing.
Bu masalani yechish uchun kvadrat ildizni x deb belgilab olib,


 x (3)

ifodani yozib olamiz. U holda (1) tenglamaga asosan:

f (x)  x²  a
(4)

ekanligini topish mumkin. (4) ifodani (2) ga qo‘yib, quyidagi rekurrent formulani topish mumkin:

^X n 1
 ¹ ( X
₂ n
_ a ₎
2 X
(5)

n
Bu formulaga mos blok-sxema 1.17-rasmda keltirilgan. Musbat kichik son
>0 - kvadrat ildizni topishning berilgan aniqligi. Eslatib o‘tamiz, algoritmda indeksli o‘zgaruvchilarga zarurat yo‘q.