Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

Shifrlash qoidasi: ushbu ifoda a _j  g ^k_j mod p _j , b_j  y^k_j M mod p _j (foydalanuvchilar guruhi uchun p va g umumiy bo‘lganda: a _ g ^k mod p, b  y _j ^k M mod p) hisoblanadi, bu yerda M - ochiq ma’lumot, k - ma’lumotni shifrlab jo‘natuvchi tomonidan tanlangan tasodifiy son bo‘lib, u ( p _j 1) –soni bilan o‘zaro tub, a _j ,b_j  C ( p va g umumiy bo‘lganda a,b C–shifrlangan ma’lumot);

D eshifrlash qoidasi: mod p _j  M ( p va g umumiy bo‘lganda: b x_j mod p _ M ), haqiqatan ham, mod p _j  ^{g xjik} mod p _j  M ( p va g a

u mumiy bo‘lganda: b _xj mod p  _j mod p_{ kx j} mod p =M mod p  M , a
chunki M _ p ).
Kriptotizimning har bir i -foydalanuvchisi uchun ochiq va maxfiy kalitlarni x_i - soni ma’lum bo‘lganda y_i  g_i^xi mod p_i (foydalanuvchilar guruhi uchun x_i  p hamda y_i  g ^xi mod p ) tenglik bo‘yicha generasiya qilinadi. Ammo x_i - soni foydalanuvchilarga noma’lum bo‘lganda, ochiq kalitni ifodalovchi y_i  g_i^xi mod p_i tenglikdan x_i  log _gi y_i (mod p_i ) - sonini topish, chekli maydon xarakteristikasi p_i yetarli katta bo‘lganda, murakkablashadi va bugungi kunda chekli maydonlarda logarifmlash masalasi yechimining rasional (samarali) usullari mavjud emas. [60] da xarakteristikasi katta bo‘lgan chekli maydonlarda diskret logarifmlashning ba’zi usullari keltirilgan.
5.5. Elliptik egri chiziq gruppasida diskret logarifmlashga asoslangan kriptotizimlar
5.5.1. Elliptik kriptografiyaning yuzaga kelishi
EECh nazariyasini yaratishda so‘nggi qadimiy grek matematigi Diofantdan boshlab o‘tmishning ko‘pgina eng yirik olimlari qatnashgan. EECh gruppasi strukturasini mashhur fransuz matematigi Anri Puankare taklif etgan. Yillar davomida EECh hyech qanday amaliy ahamiyatga ega bo‘lmagan sof matematika sohasi bo‘lib kelgan. O‘tgan asrning 80-yillarida EECh katta sonlarni faktorlash algoritmlarini tuzish sohasida qo‘llanila boshladi [56-60] va bu qo‘llanishlar orqali kriptografiya sohasiga kirib keldi (nosimmetrik tizimlar, psevdotasodifiy sonlarni
generasiyalash). Elliptik kriptografiyada haqiqiy burilish 1985 yilda N. Koblis va V. Miller ilmiy ishlari [42-44] chop etilgandan so‘ng yuz berdi. Shu damdan boshlab mashhur jahon kritologlari elliptik kriptografiya bilan shug‘ullana boshladilar.
Faktorlash va EECh gruppasida diskret logarifmlash murakkabliklarini taqqoslama tahlili EEChlarning bahslashuvdan holi afzalliklarini namoyon etdi
[61-65]. 5.1- jadvalda taqqoslama ma’lumotlar keltirilgan (ma’lumotlar tub maydonda diskret logarifmlash muammosi uchun ham oson hisoblanadi).
5.1- jadval