Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.6.2. Maydon ustida berilgan elliptik egri chiziq nuqtalari gruppasi

Elliptik egri chiziq
Ko‘plab oshkora kalitli kriptografik mahsulotlar va standartlar deyarli an’anaviy mavqyega erishgan RSA va El Gamal algoritmlariga asoslangan. So‘nggi vaqtlarda kriptotahlil usullarining va hisoblash texnikasining keskin rivojlanishi tizimlarning ishonchli himoyasi uchun kalit bitlari sonining ham katta bo‘lishiga olib keldi, bu esa an’anaviy tizimlarni qo‘llovchi tizimlar ilovasini yuklanish vaqtining ortishiga olib keldi. Bu o‘z navbatida katta tranzaksiyalarni himoyalash talab etiladigan, elektron tijoratga ixtisoslashgan aloqa tugunlarida ko‘plab muammolarni keltirib chiqardi. Shu bois an’anaviy mavqyega erishgan tizimlarga raqib - elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografiya vujudga keldi.
Elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografik tizimlarning an’anaviy tizimlarga nisbatan afzalligi, ularda foydalaniladigan kalit uzunligi razryadi kichik bo‘lganda ham, ekvivalent himoya bilan ta’minlashidadir. Bu esa qabul qiluvchi va uzatuvchi moslama prosessorlarining yuklanish vaqtini kamaytiradi.
Hozirda elliptik egri chiziqlarning kriptografiya sohasiga tatbiqi keng qo‘llanilmoqda. Ushbu paragrafda elliptik egri chiziq va uning nuqtalari haqida umumiy tushunchalar hamda ularga bog‘liq bo‘lgan amallar bilan tanishish mumkin.
3.22-ta’rif. Biror K-maydonda olingan elliptik egri chiziq deb, quyidagi
Veyershtrass tenglamasi deb ataluvchi tenglik orqali aniqlanuvchi
y² a₁xya₃y  x³ a₂x² a₄xa₆ (1)
egri chiziqqa aytiladi, bu yerda a₁,a₂ ,a₃ ,a₄ ,a₆ K .
Elliptik egri chiziq odatda E yoki E / K bilan belgilanadi va elliptik egri
chiziqqa tegishli nuqtalar, yani (1) tenglama yechimlari shu elliptik egri chiziqning affin nuqtalari deyiladi.
3.23-ta’rif. P(x₀ , y₀ )_E nuqta elliptik egri chiziqning silliq nuqtasi
deyiladi, agar
f (x0 , y0 )  y02  a1x0 y0  a3 y0  x03 a2 x02 a4 x0 a6
bo‘lib, quyidagi shartlardan bittasi o‘rinli bo‘lsa:
f _x^{`</sup>(x<sub>0</sub> , y<sub>0</sub> )  0 yoki f <sub>y</sub><sup>`} (x₀ , y₀ )  0 (2)
3.24-ta’rif. E/K – elliptik egri chizik silliq deb ataladi, agar uning har bir affin nuqtasi silliq bo‘lsa.