Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.3.2. Parametrli funksiyalarning diskret darajaga oshirish funksiyasi xossalariga o‘xshash xossalari
Oshkora kriptografiyaga [2, 23, 50] oid nosimmetrik kriptotizimlarni yaratish bitta maxfiylikka ega bo‘lgan bir tomonlama funksiyalardan foydalanishga asoslanadi. Eng mashhur nosimmetrik kriptotizimlarning kriptobardoshliligi diskret logarifm, elliptik egri chiziqda diskret logarifm va faktorlash masalalarini yechish asosida maxfiylikni topishning murakkabligiga asoslanadi. Bunda murakkablik darajasi kriptotizimdan noqonuniy (xaker) va qonuniy foydalanuvchilar uchun bir xil bo‘lib, katta hisoblash resursiga ega bo‘lgan tashqi noqonuniy buzg‘unchilar uchun kriptotizimni qo‘porish xavfiga o‘rin qoldiradi. Quyida noqonuniy buzg‘unchilarning qo‘poruvchilik imkoniyatlarini yo‘qqa chiqarishga imkon beruvchi, faqat qonuniy foydalanuvchilar uchungina ma’lum bo‘lgan an’anaviy maxfiylik(daraja ko‘rsatkichi – diskret logarifm uchun, Eyler pifunksiyasi – faktorlash uchun)ka qo‘shimcha R parametrli bir tomonlama funksiyaning modul n{p, p₁p₂} hollari uchun an’anaviy darajaga oshirish funksiyasi xossalariga o‘xshash xossalari bayon qilingan [23, 51-54]. Bu yerda p – tub son, p₁, p₂ – har xil tub sonlar, R – parametr.
Xossalar ta’riflarida modul n bo‘yicha asos a ni R parametrli x darajaga oshirish natijasi a^\x(mod n) shaklida ifodalangan, bu yerda x{0,1,-1,e, d, z }, ^\ – R parametrli darajaga oshirish belgisidir.
3.17-ta’rif. Modul arifmetikasida parametr R≥1 bilan darajaga oshirish funksiyasi parametrli funksiya deb ataladi.
Parametrli funksiyalarning chekli gruppa va halqada diskret darajaga
oshirish funksiyasi xossalariga o‘xshash xossalariga quyidagilar kiradi:
1-xossa. a^\z+d a^\z ® a^\d (mod n), a^\z  a^\z®0 (mod n), bu yerda ® – modul n bo‘yicha R parametrli ko‘paytirish amalining belgisi, 0 – birlik elementi, ^\ – parametr R bilan darajaga oshirish belgisi, a, z, d {1,2,. .., n-1}; an’anaviy (parametrsiz) darajaga oshirish funksiyasida a^z+d a^za^d (mod n), a ^z  a ^z 1 (mod n).
2-xossa. a^\zd(a^\z)^\d (a^\d)^\z(mod n), bu yerda a{1,2,. .., n-1}, ^\ – parametr R bilan darajaga oshirish belgisi, z, d{1,2,. .., φ(n) -1}; an’anaviy (parametrsiz) darajaga oshirish funksiyasida a ^zd  (a ^z)^d  (a ^d)^z (mod n).
Yuqorida keltirilgan xossalar parametrli funksiya qiymatini istalgan daraja ko‘rsatkichi uchun samarali hisoblash uchun yetarlidir. Bu yerda katta darajaga oshirish jarayoni, eksponensial funksiyani hisoblash jarayoni kabi kechib, davriy tarzda x=2 (kvadratlash) darajaga oshirish va hosil bo‘lgan avvalgi natijani asosga parametrli ko‘paytirish amallaridan foydalanishdan iborat bo‘ladi.
3-xossa. a^\φ(n)+1 a(mod n), a^\0 = 0, a^\1= a, bu yerda φ(n) – Eyler pi-
funksiyasi, a {1,2,. .., n-1}; an’anaviy (parametrsiz) darajaga oshirish funksiyasida a ^φ(n)+1 a (mod n), a⁰ = 1, a¹ = a.