Termodinamika va statistik fizika

1.5.  I  b o b g a   o id   m a s a la   v a   sa v o lla r
1. 
B itta  to ‘g ‘ri  chiziq  b o 'y ich a  h a ra k a tla n u v c h i  ik k ita  z a rra ­
ning  elastik  to'qnashishi  u c h u n   Liuvill  teorem asi  o'rinli  ekanligi 
ko'rsatilsin.
Y echish.  S istem a  u c h u n   e n erg iy a  v a   im pu lsn in g   saq lan ish  
q o n u n la rin i  yozam iz:
2
 
2
 
2
 
2 
P l 
. 
P2
 
pl 
. 
P2 
r, 
!  ~  
„
P i 
P
2
 
P l  “Ь  P
2
 •
2
 m1 
2
 m
2
 
2
 ml 
2 m2
Z a rra la rn in g   to 'q n a s h u v g a c h a   v a   to 'q n a s h u v d a n   k e y in g i 
fazalar  fazosining  d ifferen sial  h a jm la ri  qu y id ag ich a  bog 'lan g an :
d r   =  D d r   yoki  d p ip
2
  =   D d p ^ p .,,
bu  y e rd a   D  -   o 'tish i  yakobiani:
D  -
d(<7l  ,  9 ( P i , P z )
d( Pl  - P 2 )
d ( P i ,
  P2 )
E nergiya  v a  im pu lslarn ing   saq lanish   q o n u n larid an   q u y id a - 
g ilarn i  topam iz:
, 
m, — m2 
2m, 
, 
m ?—m, 
2 m,
P  =  —  ..... L Pi 
-   -P 2.P   =  
1
  p
2
  + ------ ^ - P l.
m l +m 2 
m 1 +m 2 
m, +m 2 
rrij +m2
U s h b u   if o d a la r d a n   fo y d a la n ib   o ‘tis h   y a k o b ia n in i  h is o b la s h  
n atijasid a  D  =  1  ekanligini,  y a ’ni  d p 'p
2
  =   d p ^   ni  hosil  qilamiz. 
D e m ak ,  ik k i  z a rr a n in g   e la s tik   to 'q n a s h is h id a   f a z a la r   fazo si 
h ajm i  s a q la n a r  ekan.
2. 
S o 'n u v ch i kichik  te b ra n is h la r b a ja ra y o tg a n  ossillyatorning 
fazaviy  tra e k to riy a si  an iq lansin   v a  chizilsin.  V aq t  o 'tish i  bilan 
fazaviy  h ajm n in g   o'zgarishi  topilsin.
Y e ch ish .  B izga  m e x a n ik a d a n   m a ’lu m k i,  s o 'n u v c h i  k ic h ik  
te b ra n is h la r   b a ja ra y o tg a n   o ssilla to rn in g   h a r a k a t  te n g la m a si 
q u y id ag i  k o 'rin ish d a   yoziladi:
21

---

X   +   ~/X  -j-  OJgX  =   О,
b u   y erd a   ujn  -   erk in   te b ra n ish la r  chastotasi, 
7
  -   so‘nish  koef-
fitsiyenti. 
7
 «  w bo'lganda  sistem a  so 'n u v ch i  kichik  te b ra n ish la r 
bajaradi.  Bu  holda  ko o rdinata  v a  im pulsni  q u y idagicha  yozish 
m um k in :
B u  y e rd a   x 0  v a  p
0
  m os  ra v is h d a   o ssilato rn in g   b o sh lan g 'ic h  
v a q td a g i  k o o rd in atasi  v a  im pulsi.  T en g lam a   y ech im lari  y o r-
S h u n d a y   qilib,  fazaviy  h ajm   v a q t 
0
‘tishi  bilan  eksponensial 
k a m a y a r  ekan.  Fazaviy  tra e k to riy a   sp irald an   ib o rat  bo'dadi.
3.  Ideal  q a y ta ru v c h i  q u ti  devo rlarig a  p erp en d ik u lar  y o 'n a- 
lishda,  doim iy tezlik  bilan  h a ra k a tla n u v c h i zarrach an in g  fazaviy 
tra e k to riy a sin i  (p,  q)  tek islik d a  chizing.  H a ra k a t  y o ‘nalishida 
q u ti  o'lcham i 
2
a.
4.  B oshlang'ich  z
0
  n u q ta d a n   v ertik al  yuqoriga  y o 'n alg an   г
>0 
tezlik  bilan  g rav itatsiy a  m aydonida  h a ra k a tla n u v c h i  m   m assali 
jism n in g   fazaviy  tra e k to riy a sin i  aniqlang.
5.  K u lo n   k u c h i  t a ’sirid a  q o 'z g 'a lm a s   +e  z a ry a d g a   tom on 
h a ra k a tla n u v c h i  m   m assali  —e  zary a d g a  ega  z a rra   u ch u n   faza­
viy  tra e k to riy a n i  aniqlang  va  chizing.  B oshlang'ich  m om entda 
zarran in g   im pulsi  p
0
  =  
0
  va  qo'zg'alm as  zary a d d an   r Q m asofada 
jo y lash g an .
6
.  B oshlang'ich  holati  A (p 0,  z 0),  B (p0,  z Q  +   a),  C(p
0
  +   b,  z0) 
fazaviy  n u q ta la r  bilan  aniqlangan,  doim iy  og'irlik  m aydonida 
h a ra k a tla n a y o tg a n   u c h ta   z a rra   u c h u n   Liuvill  teo rem asin i  te k - 
shiring.
7.  I k k ita   s h a m in g   a b s o lu t  n o e la s tik   to 'q n a s h is h i  u c h u n  
Liuvill  te o rem asin i  tekshiring.
8
.  G am ilton  form alizm idan  foydalanib  |/(и>(Г, t)) d r  =  const 
ekanligini  isbotlang.  Bu  y e rd a   f{uj)  -   cheksizda  nolga  intiluvchi+
p  =  e 
2
  (p
0
  cos io0t — т х аш0  sin iv0t ) .
dam ida  fazaviy  hajm n i  hisoblash  q u y id ag i  natijani  beradi:
f ( t )  = JJd rd p   = e~7T ( 0).
22

---

n o rm iro v k a   s h a rtin i  v a  —   =  {H ,w }  te n g la m a n i  q a n o a tla n -
tiru v ch i  ehtim ollik  zichligi;  /(u;)  -   ш  — 
0
  da  nolga  ay lan u v ch i 
ixtiyoriy  funksiya;  H  -   G am ilton  funksiyasi.
Yechish.  F  =  |/(ги (Г , t) ) d r   =  const  d a n  v a q t  b o'yicha  hosilani
P u asson   q a v slarid an   fo y d alan ib   o‘zg artiram iz,  y a ’ni
K in etik   en erg iy a  fa q a t  im p u lslarg a   v a  p o ten sial  e n erg iy a 
fa q a t  k o o rd in atalarg a  bog‘liqligini,  y a ’ni  H(q,  p)  =  T(p)  +   U(q) 
ekanligini  hisobga  olsak,  m asala  s h a rtig a   binoan
S h u n d a y   qilib,  h a q iq a ta n   h a m   b e rilg a n   in te g ra ln in g   v a q t 
b o 'y ich a  o'zgarishi  nolga  ten g   bo'ladi.
9.  Ishq alan ish   k uchi  tezlikka  proporsional  b o 'lg an   m u h itd a  
h a ra k a tla n a y o tg a n   z a rra   u c h u n   (p,  q)  tek islik d a  fazaviy  tra e k - 
to riy an i  toping  va  dpdq  fazaviy  h ajm n in g  v a q t  bo'yicha  o'zga- 
rishini  hisoblang.