|
10.14. Bolsman kinetik tenglamasining Bogolyubov
bo‘yicha isboti
Zarralari faqat ju ft-ju ft to‘qnashuvchi o ‘ta siyraklantirilgan
gazni olib qaraylik. Bunda gaz uchun r0/A r g -
o‘zaro ta’sir radiusi, A - zarraning erkin yugirish y o ‘li.
Masalani soddalashtirish uchun gazni fazo viy birjinsli deb
qaraymiz. Bu holda taqsimot funksiyasi pl faqat impuls va
vaqt t ga bog‘liq bo‘ladi, y a ’ni
p ,(r ,p ,t ) = px(p, t).
375
Binar taqsimot funksiyasi p12 esa ikkita zarraning o'zgarmas
a vektorga fazoviy siljitishida o'zgarmasdan qolishi kerak, y a ’ni
p2(ri + a ,r 2 + a,p1,p 2,t) = p2(rl ,r2,p 1,p 2,t).
v
Bu shart bajariladi, agar p12 faqat zarralar orasidagi masofaning
funksiyasi bo'lsa, y a ’ni
Pl2(r1. r2.P1.P 2.t ) = Р12(Г12.Р1.Р2-4)'
Quyidagi uchta xarakterli vaqtlarni kiritamiz:
1) to‘qnashishlar effek tiv davom ligi r 0 ~ r Q/v;
2) to'qnashishlar orasidagi o'rtach a v a q t r 0 ~ X/v ( v -
o'rtacha tezlik, r - o'rtacha erkin yugirish yo'li);
3) turli xil fizik masalalarda turlicha bo'lgan makroskopik
relaksatsiya vaqti r m ~ L/ v ( L - idish o'lchami). rm har doim
т dan juda katta bo'ladi. Bu esa qaraladigan gazni y etarli
darajada siyrakligini ko'rsatadi.
Shunday qilib, har doim quyidagi tengsizliklar bajariladi:
r0 « A « L,
t 0
< r <
т т .
Shunday qilib, bir qator bosqichlar orqali o'tishi tufayli, sis-
tem anin g b oshlang'ich nom u vozanat holati v a q t b o'yich a
evolutsiyalanadi.
At vaqt oralig'ida gaz tabiatini qarab chiqaylik.
1. At ~ r Q boshlang'ich xoatizatsiya bosqichi. Bu holda sistema
holati to'la N - zarrali pn N taqsimot funksiya orqali tavsiflanadi.
2. r Q
т ~ bu bosqichni Bogolyubov kinetik deb ataydi
va bu vaqt ichida gazda m olekulalarning juda ozgina qismi
to'qnashishga ulguradi. Shuning uchun, At vaqt ichida asosiy
z a r r a la r son in in g v a q t b o 'y ic h a ta b ia ti fu n k s iy a b ila n
tavsiflanadi. At v a q t ichida to'qnashishga ulgurgan ozgina
zarralarni fikran juftlab yig'aylik. Bu ju ftlar soni to'la zarralar
soni N ga nisbatan juda kichik. To'qnashishga duchor bo'lgan
ju ft zarralar tabiati p12 binar korrelativ funksiya bilan tavsif
lanadi. Bizning vazifam iz p1 va p12 orasidagi bog'lanishni tiklash-
dan iborat. Bu bog'lanishni mulohaza orqali aniqlash faqat
vaqt At uchun to 'g 'ri bo'ladi.
3. r < At - bu bosqich gidrodinamik deb ataladi va shu bilan
xarakterlanadiki, bir qancha ju ft to'qnashishlardan so'ng, bu
bosqichda gazning kichik hajmlarida lokal muvozanat tiklanadi.
376
Endi biz quyilgan masalaga o'taylik. Buning uchun korre-
lativ funksiyalarning tabiatini V / N = ^ —> 0 limitda qaraylik.
Bu holda cheksiz kichik zichlikdagi gaz, taqsimot funksiyasi uchun
tenglama fazoviy bir jinsli gazda quyidagi ko'rinishni oladi:
dft(Pl,t) = Q.
(10.123)
dt
Bu form ula shu m a’noni anglatadiki - bu yaqinlashishida
zarralar b ir-b irid an m ustaqil harakatlanadi. (10.123) ning
yechimini quyidagi simvolik ko‘rinishda yozish qulay:
pi(p,t) =
- r u).
Operator Sip1(p 1,t) funksiyaga ta’siri tufayli t - r Q
boshlang'ich
vaqt momentida olingan funksiyani t vaqt momentidagi funk
siyaga o'tkazadi. Zarralar bir jinsli gazda o'zgarm as impuls
bilan to‘qnashishsiz harakatlanganligi uchun:
P
i
(P
p
*) = P i ( P i , t - T 0).
Shunga o'xshash 1 /г? —> 0 yaqinlashishda r 12 korrelativ funksiya
uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
d / 4 ^ (r i> r 2 > P i> P 2 '* ) =
q
Q Q ^ 2 4 )
df
Ushbu tenglamaning yechimini quyidagicha yozish mumkin:
/^’ (rp rj.p j.p ,,*) = S2p2{ru r2, v v v 2, t - T 0).
(10.125)
Operator S
2
ta’siri tufayli
t - r 0 boshlang'ich
vaqt momentidagi qiymatidan t vaqt momentidagi qiymatiga
o'tkazadi.
(10.125)
tenglam a qolgan m olekulalar tomonidan ta ’sirga
duchor bo'lmagan ju ft molekulalar tabiatini tavsiflaydi.
Shu narsa tushinarliki, biz yu ritayotgan fik r va (10.124)
tenglam a faqat At < r vaqt ichida m a’noga ega. A m m o bu
vaqt molekulalarning to'qnashish vaqtiga nisbatan ancha kat-
tadir. Bogolyubov fikriga ko'ra, (10.124) tenglamadan taqriban
katta vaqtlar (t —> °°) uchun ham foydalanish mumkin.
377
Р
Do'stlaringiz bilan baham: |
