Termiz davlat universiteti fizika-matematika fakulteti algebra va geometriya kafedrasi

1.2-§.Nuqtalar sistemasining qavariq qobig’i
Avvalo tasavvur qilaylik cheksiz faner listning ko’rinishidagi tekislikning A₁,A₂,…,A_p nuqtalariga qoziqchalarga yetadigan qilib tortamiz.Shu rezina ip bilan qamrab olingan soha biror qavariq ko’pburchakni beradi. Ana shu ko’pburchakga A₁,A₂,…,A_p nuqtalar sistemasining qavariq qobig’i deyiladi.(25-shakl)

Yuqorida keltirilgan qavariq qobiq ta’rif juda ko’rgazmali bo’lsada matematik nuqta-i nazardan kamchiliksiz emas. Endi shu tushunchaga qa’tiy ta’rif beramiz. Faraz etaylik A₁,A₂,…,A_p lar tekislik (yoki fazodagi) ixtiyoriy bo’lsin.
S₁A₁+S₂A₂+….+S_pA_p (1)
ko’rinishdagi barcha mumkin bo’lgan nuqtalar to’plamini qaraymiz. Bu yerda S₁,S₂,….,S_p lar
S₁,S₂,…,S_p va S₁+S₂+…+S_p=1 (2)
shartlarni qanoatlantiruvchi sonlar.
Ta’rif. (1) – ko’rinishdagi (2) – shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plamiga A₁,A₂,…,A_p nuqtalar to’plamining qavariq qobig’i deyiladi va 1,A₂,…,A_p> ko’rinishida belgilanadi.
Bu ta’rifning ilgarigi ta’rifga mos kelishini tekshirish maqsadida p=2 va p=3 bo’lgan hollarni qarab chiqamiz. Agar p=2 bo’lsa bizga A₁ va A₂ nuqtalar berilgan hamda 1,A₂>=S₁A₁+S₂A₂ bo’lib 1-punktda qarab chiqilganiga asosan, A₁,A₂ kesmani beradi.
p=3 bo’lganda esa 1,A₂,A₃>=S₁A₁+S₂A₂+S₃A₃ bo’lib A₁A₂A₃ uchburchak ichida va uning tomonlarida yotuvchi nuqtalar to’plamidan iborat bo’ladi.
Bu yerda quyidagi lemma o’rinli:
Lemma. 1,A₂,...,A_p-1,A_p> to’plam A_p nuqtani 1,A₂,...,A_p-1> to’plamning barcha nuqtalari bilan birlashtiruvchi barcha mumkin bo’lgan kesmalardan tuzilgan bo’ladi.
Isboti. Qulaylik uchun M_p-1=1,...,A_p-1> deb belgilab olamiz. Ixtiyoriy A€M_p nuqtani qaraymiz. U
A=S₁A₁+...+S_p-1A_p-1+S_pA_p
S₁,S₂,...,S_p 0 , S₁+S₂+...+S_p=1
ko’rinishda bo’ladi. Agarda S_p=0 bo’lsa A€M_p-1 bo’ladi, ya’ni M_p-1to’plam M_p ning qismi.
Agar S_p=1 bo’lsa A=A_p va A€M_p. Shunday qilib M_p-1 va A nuqta M_p ga tegishli. Endi A’€M_p-1 bo’lganda ixtiyoriy A’A_p kesmaning M_p da yotishni ko’rsatamiz.
Agar A nuqta shunday kesmaning nuqtasi bo’lsa, u holda
A=tA’+SA_p , (t, S , t+S=1)
Deb yoza olamiz.
Ikkinchi tomondan esa A’ nuqtaning aniqlanishiga ko’ra
A’=t₁A₁+...+t_p-1A_p-1 , (t₁,...,t_p-1 0 ; t₁+...+t_p-1=1)
demak
A=tt₁A₁+...+tA_p-1A_p-1+SA_p.
Agar bunda tt₁=S₁,...,tt_p-1=S_p-1; S=S_p deb olsak (1) va (2) ga ega bo’lamiz. Bu esa A€M_p ekanligini ko’rsatadi.
Shunday qilib yuqorida ko’rsatilgan kesmalarning ixtiyoriy to’laligicha M_p da yotar ekan.
Endi M_p to’plamda shu kesmalardan boshqa nuqtalar yo’qligini, ya’ni M_p dagi ixtiyoriy A nuqtalar shu kesmalardan boshqa nuqtalar yo’qligini, ya’ni M_p dagi ixtiyoriy A nuqta shu kesmalardan boriga tegishli bo’lishini ko’rsatamiz.
A€M_p bo’lsin. U holda (1) va (2) lar bajariladi. S_p 1 deb hisoblash mumkin, chunki aks holda A=A_p va isbotlanayotgan tasdiq o’z-o’zidan tushunarli. Agar S_p bo’lsa, u holda S₁+...+S_p-1=1-S_p>0, shuning uchun ham
A=(S₁+...+S_p-1)[ +...+ ]+S_pA_p
deb yozish mumkin. Bunda kvadrat qavs ichidagi ifoda M_p-1 ga tegishli bo’lgan biror A’ nuqtani beradi, chunki A₁,...,A_p-1 larning koeffisentlari manfiy emas va va yig’indi 1 ga teng. Demak
A=(S₁+...+S_p-1)A’+S_pA_p.
Bu yerda A’ va A_p larning ham koeffitsentlari manfiy emas va ularning yig’indisi 1 ga teng bo’lgani uchun A nuqta A’A_p kesmada yotadi.