Теория справедливости, конкуренции и сотрудничества

с 2 ^аи (1 2 2 с) 2 ^{н 2 2} б с $ 0 2 ^аи

а_и
(1 2 с) 2 с.

N 2 1
n 2 1 ⁱ

N 2 1

N 2 1

Правая сторона этого неравенства меньше 0. Мы уже знаем , что левая сторона больше 0, так как (A11) нарушен. Поэтому респондент i предпочитает принимать и s . Мы приходим к выводу, что если (A11) не удерживает хотя бы один i, то по крайней мере один респондент примет s. Следовательно, (A11) также необходим. h Если b₁ , (n 2 1)/n, то равновесное предложение должно поддерживаться

угроза того, что любое меньшее предложение будет отвергнуто всеми. Но мы знаем из Леммы 2, что предложение s ̃ может быть отклонено только в том случае, если (A11) справедливо для всех i. Таким образом, наивысшее предложение s, которое может быть поддержано в равновесии, задается (8).

ЕСТЬ


Доказательство предложения 4

1. 
   Предположим, что 1 2 а . b_i для игрока i. Рассмотрим произвольный вектор вклада (g₁, . . . , g _i21, g_i11, . . . , g_n) других плейеров. Без потери общности мы перемаркируем игроков таким образом, что i 5 1 и 0 # g₂ # g₃ # ? ? ? # г_н. Если игрок 1 выбирает g₁ 5 0, его выигрыш дается
   

н _б н
(А14) U₁( g₁ 5 0) 5 y 1 a _o g_j 2 _{n 2 1 o} g_j.
d52 дж52
Обратите внимание , что если все остальные игроки тоже выбирают g_j 5 0, то g₁ 5 0 явно является оптимальным. Кроме того, игрок 1 никогда не выберет g₁ . макс г_Дж . Предположим, что есть по крайней мере один игрок, который выбирает g_j .
0. Если игрок 1 выбирает g₁ . 0, g₁ [ [ g_k, g_k11], k [ 2, . . . , n , то его отдача задается
U₁(g₁ . 0)
n _b1 n _a1 k
5 y 2 g₁ 1 1 hp_{1 1} a o g_j 2 _{n 2 1 o} (g_j 2 g₁) 2 _{n 2 1 o}(g₁ 2 g_j)

д52
n
j5k11
_b1 н
д52
_b1 к

, y 2 g_{1 1} 1 hp₁ 1 a _o g_j 2 _{n 2 1 o} (g_j 2 g₁) 1 _{n 2 1 o}(g₁ 2 g_j)

д52
n
j5k11
_b1 н
д52

5 y 2 g_{1 1 1} hp₁ 1 a _o g_j 2 _{n 2 1 o} g_j

д52
б₁
д52

1 _{n 2 1} (n 2 1)g₁
n


_b1 н

5 y 2 (1 2 a 2 b₁)g₁ 1 a _o g_j 2 _{n 2 1 o} g_j

н _б1
д52
n
д52

, y 1 а _о г_j 2 _{n 2 1 o} g_j 5 U₁(g₁ 5 0).
d52 дж52
Следовательно, g_i 5 0, действительно является доминирующей стратегией для игрока i.

2. 
   Очевидно, что это равновесие, если все игроки ничего не вносят, потому что односторонний вклад больше нуля снижает денежную отдачу и вызывает невыгодное неравенство. Предположим, что существует другое равновесие с положительными уровнями вклада. Переименовать игроков так, что 0 # g₁ # g₂ # ? ? ? # г_н. По части (а) мы знаем, что все k игроков с 1 2 а . b_Я должен выбрать g_i 5 0. Поэтому 0 5 г₁ 5 . . . . г_к. Рассмотрим игрока l . k, который имеет наименьший положительный уровень вклада; т.е. 0 5 г_л21 , г_л # г_л11 # ? ? ? # г_н. Полезность игрока 1 задается
   

или

n 2 1 ^из
n _bl n

(А15) У_л (г_л) 5 y 2 г_л 1 аг_л 1 г_{г д} 2
г5л11 дж5л11
( g_j 2 г_л)

_ал л21 н _бл н
2 _{n 2 1 o} g_l 5 y 1 a _o g_j 2 _{n 2 1 o} g_j

д51


n 2 л
г5л11


л 2 1
г5л11

2 (1 2 а) г_л 1 б_{л n 2 1} г_л 2 а_{л n2 1} г_л
n 2 л л 2 1
5 U_л(0) 2 (1 2 а) г_л 1 б_{л n 2 1} г_л 2 а_{л n2 1} г_л,
где U_l(0) — утилита , которую получает игрок 1, если он отклоняется и выбирает
г_л 5 0. Так как а_л $ б_л, л $ к 1 1, а б_л , 1, мы имеем
n 2 л л 2 1
(А16) У_л( г_л) # У_л(0) 2 (1 2 а) г_л 1 б_{л n 2 1} г_л 2 б_{л н 2 1} г_л
n 2 2(k 1 1) 1 1

# U_л(0) 2 (1 2 а) г_л 1 б_л
n 2 1 ^гл

, U_л(0) 2 (1 2 а) г_л 1

n 2 2до 2 1
n 2 1 ^гл

Таким образом , если

5 У_л(0) 2

(1 2 а)(n 2 1) 2 (n 2 2до 2 1)
n 2 1 ^гл.

(А17)
(1 2 а)(n 2 1) 2 (n 2 2до 2 1)
_{n 2 1} $ 0,

игрок l предпочитает отклоняться от равновесного кандидата и

выберите g_l 5 0. Но это неравенство эквивалентно (A18) (1 2 a)(n 2 1) $ n 2 2k 2 1

n 2 2до 2 1

Ю # 1 2


N 2 1

n 2 1 2 n 1 2k 1 1 2k
^{Ю а} No2 1⁵ н 2 1
к а
^Ю н 2 1 ^$ 2 ^,
которое является условием, приведенным в предложении.

3. 
   Предположим, что условия предложения являются satis- Žed. Мы хотим построить равновесие, в котором все k игроков с 1 2 a . b_I не вносит ничего, в то время как все остальные игроки n 2 k вносят g [ [0, y]. Нам нужно только проверить, что вклад g действительно оптимален для участвующих игроков. Рассмотрим некоторых игроков j с 1 2 a , b_j. Если он вносит g, его выигрыш дается
   

(А19) U_j( g) 5 y 2 g 1 (n 2 k) ag 2 [a_j/(n 2 1)] kg.
Он явно не платит, чтобы внести больше, чем g. Итак, предположим, что игрок j уменьшает свой уровень вклада на D . 0. Тогда его выигрыш составляет
U_j( g 2 D) 5 y 2 g 1 D 1 (n 2 k) ag 2 Da
a_j b_j
2 _{n 2 1} k( g 2 D) 2 _{n 2 1} (n 2 k 2 1)D
а_дж
5 y 2 g 2 (n 2 k) ag 2 _{n 2 1} кг
a_j b_j
1 Д 1 2 а 1 _{н 2 1} к 2 _{н 2 1} (н 2 к 2 1)
a_j b_j
5 U_j( g) 1 D 1 2 и 1 _{n 2 1} до 2 _{n 2 1} (n 2 до 2 1).
Таким образом, отклонение не окупается тогда и только тогда, когда
a_j b_j
1 2 и 1 _{n 2 1} k 2 _{n 2 1} (n 2 до 2 1) # 0,
что эквивалентно
(А20) k/(n 2 1) # (a 1 b_j 2 1)/(a_j 1 b_j).

Таким образом, если это условие справедливо для всех (n 2 k) игроков j с 1 2 a , b_j, то это действительно равновесие. Остается показать, что (a 1 b_j 2 1)/(a_j 1 b_j) # a/ 2. Обратите внимание, что _j $ b_j подразумевает, что (a 1 b_j 2 1)/(a_j 1 b_j) # (a 1 b_j 2 1)/(2b_j). Кроме того

a 1 б_j 2 1 2b_j
a
No ₂ Ю а 1 б_д21 # б_дж а Ю а(1 2 б_д) # 1 2 б_ю а # 1,

что подтверждает нашу претензию.
ЕСТЬ


Доказательство предложения 5
Предположим, что один из игроков i [ n8 1 1, . . . , n выбирает g_i , g. Если все игроки придерживаются стратегий наказания на этапе 2, то девиатор i получает такую же денежную выплату, как и каждый исполнитель j [ 1, . . , n8 . В этом случае денежные выплаты i и j даются

(А21) х

5 и 2 г

г 2 г_i
1 а[(n 2 1) г 1 г ] 2 n8

i в i
n8 2 с

(А22) x 5 y 2 г 1 a[(n 2 1) г 1 г ] 2 c ^{г 2 г}i 2 ^{n8 2 c} ( г 2 г )
^{J i} n8 2 c n8 2 c ^{i i}
г 2 г_i
5 y 2 г_j 1 a[(n 2 1) g 1 г_i] 2 (n8 2 c 1 c) _{n8 2 c} 5 x_i.
Таким образом, учитывая стратегию наказания силовиков, девиаторы не могут получить вознаграждение выше, чем то, что получают силовики. Тем не менее, они получают строго меньшую отдачу, чем неэнфорсеры, которые не отклонялись. Теперь мы должны проверить, чтостратегии наказания заслуживают доверия; т. е. что исполнитель не может выиграть от снижения своего p_ij. Если исполнитель уменьшает p_ij на e, он сохраняет ce и испытывает меньшее невыгодное неравенство по сравнению с теми (n 2 n8 2 1) игроками, которые выбрали g, но не наказывают. Это создает прирост нематериальной полезности [a_i(n 2 n8 2 1) ce]/(n 2 1). С другой стороны, исполнитель также несет нематериальные издержки, поскольку в настоящее время он испытывает невыгодное неравенство по отношению к дефекатору и распределительное преимущество по сравнению с другими (n8 2 1) исполнителями, которые наказывают полностью. Последний порождает потерю полезности b_i (n8 2 1) ce/(n 2 1), тогда как первый уменьшает утилитатy на _i(1 2 c)e/(n 2 1). Таким образом, потери от снижения p_ij больше

чем коэффициент усиления, если (A23)

1 це
_{n 2 1} [a_i(1 2 c)e 1 b_i(n8 2 1) ce] . ce 1 a_i(n 2 n8 2 1) _{n 2 1}
Держит. Некоторые простые алгебраические манипуляции показывают, что условие (A23) эквивалентно условию (13). Следовательно, наказание заслуживает доверия.
Рассмотрим теперь стимулы одного из силовиков отклоняться на стадии Žrst. Предположим, что он уменьшает свой вкладион на e .
0. Игнорируя возможные наказания на втором этапе на мгновение, игрок I получает (1 2 a) e в денежном выражении , но несет нематериальный убыток b₁e, создавая неравенство для всех других игроков. Так как 1 2 а, б_и по предположению, это отклонение не оплачивается. Если его дезертирство приводит к наказаниям на втором этапе, то это уменьшает его денежную отдачу, которая не может сделать его лучше , чем он был бы, если бы он выбранный г_i 5 г. Следовательно, силовики также не собираются отклоняться на этапе 1. Нетрудно заметить, что выбирая g_i . g также не может быть прожорливым для любого игрока, поскольку он уменьшает денежную отдачу и увеличивает неравенство.
ЕСТЬ