Теория систем и системный анализ

9. Динамическое описание систем

Функционирование сложной системы можно представить как совокупность двух функций времени: одна описывает внутреннее состояние системы, а другая - выходной процесс системы, т.е. воздействие системы на внешнюю среду (входного процесса системы).

Предположения о характере функционирования систем гласит, что в каждый момент времени t T система может находиться в одном из возможных состояний z Z. Здесь Z множество состояний системы.
Пример:

1. 
   Если рассматривать электромагнитное реле как логический элемент, то достаточно проанализировать всего два состояния:
   
   • 
     z₁ – контакт замкнут;
     
   • 
     z₂ – контакт разомкнут.
     
2. 
   Состояние системы, которая выпускает изделия – характеризуется числом изделий z(t), выпущенных к данному моменту времени t, z - это совокупность некоторых неотрицательных чисел.
   

В общем случае будем предполагать, что состояние Я рассматриваемой системы описывается некоторым набором объектов z₁, z₂, …, z_N, таких, что z_i Z_i, где Z_i – заданные множества i=1,2,…,n.
Рассмотрим прямое произведение
Если z_i – множество точек числовой прямой, то можно рассматривать как множество точек плоскости; - как множество точек трехмерного пространства. А множество точек из - как множество точек n–мерного пространства. Множество Z называется пространством состояния системы (на рис.9.1 заштрихованная область):

Рис.9.1. Пространство состояний системы

Множество Z характеризуется координатами , где z₁ – множество точек интервала (0, ) на оси Z₁; z₂ - множество точек интервала (0, ) на оси Z₂.
Произведение , есть множество точек прямоугольника с вершинами (0,0), (0, ), ( , ), ( ,0). Из рис.9.1 видно, что множество Z является подмножеством множества точек .
Состояние системы Z(t) в времени t есть точка или вектор пространства с обобщенными координатами z₁, z₂, …, z_N.
В некоторых случаях рассматривается также пространство U=T , точками которого являются упорядоченные пары (t, ). Такое пространство называют фазовым пространством системы

(t, )=(t, z₁, z₂, …, z_N).