Теория определителей

Минором М_ij элемента a_ij называется определитель (n-1) порядка, получающийся вычеркиванием из определителя n-го порядка элементов i –ой строки и j-го столбца, i, j=1..n.
П ример:



– минор
элемента а₂₃.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij
называется число

A₂₃=(-1)²⁺³ М₂₃=(-1)(-6)=6.

A_ij=(-1)^i+j М_ij.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки.

Формула Лапласа:

A =a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in, i=1..n.

Пример: вычислить определитель

а) по правилу треугольников:

б) используя формулу Лапласа, разложим определитель по
элементам третьей строки:

A =a₃₁A₃₁+a₃₂A₃₂+a₃₃A₃₃,

Методы нахождения определителя

• 
  Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка. Определителем этой матрицы называют число, обозначаемое det A, ∆ или |A|, полученное из элементов матрицы   по следующему правилу: 
  
• 
  det A=a₁₁· a₂₂- a₁₂· a₂₁
  
  
  Определителем матрицы третьего порядка называют
  число, которое находят с помощью формулы:
  
  
  
• 
  Рассмотрим матрицу третьего порядка.
  

Пример:


Метод Саррюса:

Со знаком плюс


Со знаком минус


Вычисление определителя

Пример:




Разложение определителя по элементам строки (столбца)
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент

А лгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со знаком , т.е.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения

Аналогичным образом определитель третьего порядка может быть разложен по элементам второй и третьей строк, а также по элементам первого, второго или третьего столбца.

Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:

1) нулей побольше;
2) числа поменьше.
Особый случай, когда определитель имеет  ступенчатый (треугольный) вид:

Разложим его по первому столбцу:

Свойства определителей

• 
  1. При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется
  
• 
  2. Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами,
  то определитель сменит знак
  
• 
  3.Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель
  
• 
  4. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны 
  (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю
  
• 
  5. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю
  
• 
  6. К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится (К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится)
  

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
ССЫЛКИ:

• 
  http://e-biblio.ru/xbook/new/xbook343/index.html?go=part-011*page.htm
  
• 
  https://urokimatematiki.ru/teoriya-po-teme-matrici-i-opredeliteli-5659.htm