Теоремы Чевы и Менелая

Размещено на http://www.allbest.ru//

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Лицей № 35»
Проект по геометрии:
«Теоремы Чевы и Менелая »

Выполнили:

Ученики 9 «Д» класса: Архипов Сергей и Бикмуллин Роман
Руководитель
Учитель : Молчанова Нина Викторовна

г. Нижнекамск 2018- 2019

Введение

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширные как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться.

Е.Т. Белл.
Школьный курс планиметрии содержит не так много информации по геометрии конфигурации треугольников и окружностей. А тема эта очень интересна. Многие великие ученые, такие как Гаусс, Эйлер, Лейбниц, Чева, Симпсон занимались решением задач связанных с комбинацией фигур треугольника и окружности. С древнейших времен окружность и треугольник считали совершенными фигурами, в некоторых странах их наделяли и наделяют магическими смыслом и не случайно. Казалось бы, каждая из них изучена досконально, вдоль и поперек, но вот они в паре. В сотрудничестве они подарили множество открытий миру математики и принесли всемирную известность К. Фейербаху и многим другим ученым. Нас заинтересовали такие интересные факты геометрии, как теоремы Чевы и Менелая. Они привлекают своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Задачи, сопровождаемые красивыми чертежами, часто содержат неожиданные факты. Изучая эти теоремы, мы увидели геометрию с новой, неожиданной стороны: красивые интересные задачи, новые факты.
Цель нашей работы – изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению геометрических задач.

1.Биографии ученых

Менелай Александрийский (Menélaos), древнегреческий астроном и математик (1 в.). Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики» (сохранились в арабском переводе). Тригонометрия у Менелая отделена от геометрии и астрономии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике.

Чева (Джованни) — итальянский математик. Умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал много сочинений. Самым замечательным из них было первое "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio"(Милан, 1678); . В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек.
теорема чева менелай
2. Теорема Менелая следствия из теоремы Менелая

Это прикольная теорема, которая поможет вам в тот момент, когда кажется, что уже ничего не поможет. В уроке мы сформулируем саму теорему, рассмотрим несколько вариантов её использования.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и некую прямую l, которая пересекает две стороны нашего треугольника внутренним образом и одну — на продолжении. Обозначим точки пересечения MM, NN и KK:

Треугольник ABCABC и секущая l

Тогда верно следующее соотношение:
AM/MB⋅BN/NC⋅CK/KA=1
Хочу отметить: не надо зубрить расположение букв в этой злобной формуле! Сейчас я расскажу вам алгоритм, по которому вы всегда сможете восстановить все три дроби буквально на лету. Даже на экзамене в состоянии стресса. Даже если вы сидите за геометрией в 3 часа ночи и вообще уже ничего не понимаете.:)
Схема простая:
Чертим треугольник и секущую. Например, так, как показано в теореме. Обозначаем вершины и точки какими-нибудь буквами. Это может быть произвольны треугольник ABCABC и прямая с точками MM, NN, KK, либо какая-нибудь другая — суть не в этом.
Ставим ручку (карандаш, маркер, гусиное перо) в любую вершину треугольника и начинаем обход сторон этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой. Например, если сначала пойти из точки AA в точку BB, то получим отрезки: AMAM и MBMB, затем BNBN и NCNC, а затем (внимание!) CKCK и KAKA. Поскольку точка KK лежит на продолжении стороны ACAC, то при движении из CCв AA придётся временно свалить из треугольника.
А теперь просто делим соседние отрезки друг на друга ровно в том порядке, в котором мы получили их при обходе: AM/MBAM/MB, BN/NCBN/NC, CK/KACK/KA — получим три дроби, произведение которых и даст нам единицу.
На чертеже это будет выглядеть вот так:
Простая схема, позволяющая восстановить формулу из т. Менелая

И сразу пара замечаний. Точнее, это даже не замечания, а ответы на типичные вопросы:

Что будет, если прямая ll пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.
Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.
Думаю, с формулировкой разобрались. Давайте посмотрим, как вся эта дичь применяется для решения сложных геометрических задач.
Зачем всё это нужно? Данная теорема значительно ускоряет вычисления и заставляет вспоминать другие важные факты из школьного курса геометрии.
Доказательство.
Дополнительное построение: прямая CT∥AB, причём T — точка пересечения CT с исходной прямой l

Дополнительное построение: прямая CT

Заметим, что ΔAMK∼ΔCTKΔAMK∼ΔCTK по двум углам (угол CKT — общий, а ∠KAB=∠KCT как соответственные при параллельных прямых AB и CT и секущей AK). Следовательно:
AM/CT=MK/TK=AK/CKAMCT
Откуда легко видеть, что CT=AM⋅CK/AK.
С другой стороны, ΔBMN∼ΔCTN— опять же по двум углам (∠MNB=∠TNC как вертикальные, а ∠MBN=∠CTN как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CT и секущей BC). Следовательно:
BM/CT=MN/TN=BN/CN
В частности, опять же CT=CT=BM⋅CN/BN.
Теперь осталось сравнить два полученных значения для отрезка CTCT:
CT=AM⋅CK/AK=BM⋅CN/BN;
AM⋅BN⋅CK/BM⋅CN⋅AK=1;
AM/BM⋅BN/CN⋅CK/AK=1;
Ну вот и всё. Осталось только «причесать» эту формулу, правильно расставив буквы внутри отрезков — и формула готова.

3. Теорема Чевы

Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Формулировка.
Пусть точки A1,B1,C1 лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть отрезки AA1,BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Тогда:

Доказательство.

Обозначим через O точку пересечения отрезков AA1,BB1 и CC1. Опустим из точек C и A перпендикуляры на прямую BB1 до пересечения с ней в точках K и L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL и CK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники AB1L и CB1K подобны по острому углу.Аналогично получаем:

и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.
Замечание.
Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.
Теорема (обратная теорема Чевы).
Пусть точки A1,B1,C1 лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение:

Тогда отрезки AA1,BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Доказательство.
Пусть O — точка пересечения отрезков AA1 и BB1 и прямая CO пересекает сторону AB в некоторой точке C2. Достаточно доказать, что C1=C2.По теореме Чевы для точек A1,B1 и C1 имеем:

Но тогда: Значит, точки C_1 и C_2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Пусть AC1=x, AC2=y, AB=c. Тогда: , откуда

cx-xy=cy-xy,значит, x=y, то есть точка С1 = С2.

4.Задачи

Задание. В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC=3BN ; на продолжении стороны AC за точку A взята точка M так, что MA=AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найти отношение BF/FA.
Решение. Сделаем чертеж к задаче (рис. 2)

По условию задачи MA=AC,NC=3BN . Пусть MA=AC=b , BN=k ,

тогда: NC=3k.Прямая MN пересекает две стороны треугольника ABC и продолжение третьей.Согласно теореме Менелая имеем:
или
Отсюда получаем, что
Ответ. .
Задание. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне PR - точка L , причем NQ=LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении m : n , считая от точки Q. Найдите отношение PN/PR .
Решение. Сделаем чертеж к задаче (рис. 3)

По условию NQ=LR, .

Пусть NA=LR=a, QF=km , LF=kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQR и продолжение третьей. Тогда по теореме Менелая:

Ответ. .

Заключение

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.
Решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику, помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С4 единого государственного экзамена.

Список используемой литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7 – 9 класс. – М.: Просвещение, 2010.

2. И.С. Безверхняя, В.Н. Безверхний. Некоторые вопросы преподавания планиметрии в средней школе. – Тула. 1992 – 60 с.: ил.
3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Гос. уч. – пед. изд-во, М.: 1962 – 235 с.: ил.
4. Г.Коксетер, С.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978 – 286 с.: ил.
4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996 – 243 с.
5. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /Э68 Ред. коллегия: М. Аксенова, В. Володин и др. – М.: Аванта + 2005 – 688 с.: ил.