Teorema agar

TEOREMA 3.Agar f funksiya D\A sohada golomorf bo’lsa ,u yerda Dsoha va A koo’lchami 1 bo’lgan analitik to’plam.Agar f A to’plamga tegishli nuqtalarda lokal chegaralagan bo’lsa, u holda uni D sohada golomorf funksiyagacha davom ettirish mumkin .
ISBOTI. D\A soha bog’lamli ekanligidan yagona golomorf funksiyagacha davom ettirish mumkinligi ravshan,teoremani isotlsh uchun f ni biror aєА nuqtada golomorf fuksiyaga davom ettirish mumkinligini ko’rsatish yetarli,biz
a=0 deb faraz qilishimiz mumkin.Faraz qilaylik g fuksiya А to’plamda 0 nuqtaning atrofida g('0,zⁿ ) 0 shartni qanoatlantirsin .U holda {|z_n=r|} aylana mavjudki, (r-yetarlicha kichik) g('0,z_n ) 0 va g('z,z_n) 0 ligi sababli |z_n =r| lar uchun
'z nuqta 'UєC^n-1 ning yetarlicha kichik atrofiga tegishli .
Quyidagi Koshi integralini qaraymiz ;
F(z)=
'z є 'U uchun f ('z, ) funksiya 'z da golomorf chunki, ('z, ) nuqtalar D\Ada,
0.
Shu sababli Ffunksiya 'U da golomorf va U_n={|z_n|=r} doirada golomorf ,shu sababli F U='U U_n da galomorf .
Ammo 'z fikserlangan nuqta uchun g('z,z_n) funksiya U_n doirada chekli sondagi nollarga ega.
F funksiya bu nuqta atrofida chegaralangan,u holda z_n ning maxsus nuqtalarini chiqarib tashlaganimizdan keyin f ('z,z_n) funksiya {|z_n=r}doirada Koshi integrali orqali ifodalanadi,yani F funksiya U 0 sohadagi ikkinchi golomorf funksiyaga mos keladi.
Teorema4. Agar f funksiya D/A sohada golomorf bo’lsa,bu yerda dagi soha va A koo’lchami 2 bo’lgan analitik to’plam,u holda uni D sohada golomorf funksiyagacha davom ettirish mumkin.
ISBOTI. Biz m deb hisoblangan A to’plamning ko’mpleks o’lchami bo’yicha induksiya yo’li bilan kengayish imkoniyatini isbotlaymiz.Agar A 0 o’lchovli bo’lsa m=o u ajratgan nuqtalardan iborat va ularning har biriga f ning kengayishi ixcham singulyarlikni olib tashlash teoremasidan kelib chiqadi.
Faraz qilaylik m o’lchamlar uchun isbotlangan va A m o’lchamlar to’plamidir.Biz f ni har qanday a gacha uzayish mumkinligini isbotlaymiz, biz uni 0 deb taxmin qilishimiz mumkin chunki 0 Aga yaqin joyda kamida 2koo’lchovli kompleks o’zgaruvchi bo’ladi , u holda ikkita g₁va g₂ golomorf funksiyani ''U nuqtaning ''0 atrofida topishimiz mumkin shundayki,
z_n-1 -g₁(''z) va z_n-g₂(''z) bu yerda ''z=(z_1,...,z_n-2)
Faraz qilaylik g₁(''0)= g₂(''0)=0 va (z_n-1, z_n); u holda
''0, z_n-1|=| z_n|=r} bu yerda r (yetarlicha kichik) D\A yotadi, demak
Funksiya
F(''z, )=
Barcha ''z ''U va bidiskdagi uchun
U²={| z_n-1| , |z_n } da galomorf, lekin ''z uchun nuqta ( ''z, faqat
z_n-1 =g₁(''z) va z_n=g₂(''z) uchun . shuning uchun F ning funksiyasi sifatida faqat olib tashlanishi mumkin bo’lgan nuqta yagonaligiga ega bo’lishi mumkin .Natijada F= f,i,c,f galomorf tarzda 0 nuqtaga cho’ziladi. Bu f ni A ning muntazam nuqtalari A⁰ to’plamga uzayishini isbotlaydi, keyin f induksiya gipotezasi bilan bu nuqtalarga tarqaladi.