Tenzor tushunchasi Tenzorni ifodalovchi asosiy tushunchalar

Tenzorlar bilan bajariladigan asosiy algebraik amallar

Tenzorlarni qo’shish masalasidan boshlaylik. Uchinchi rangli ikkita tenzor berilgan bo’lsin:

Bu tenzorlarning mos komponentlarini qo’shaylik:

A_ijk ni B_ijk S_ijk orqali belgilasak:

(4)

bo’ladi, u vaqtda:

(5)

Bu formula uchinchi rangli tenzor komponentlarini almashtirish qonunini ifodalaydi.

(4) ga muvofiq hosil qilingan C_imn tenzor A_imn, V_imn tenzorlarning yig’indisi deyiladi. Albatta, bir xil rangli tenzorlarnigina qo’shish mumkin, natijada o’sha rangli tenzor hosil bo’ladi.

SHuningdek, bir xil rangli ikki tenzor ayirmasi ham o’sha rangli tenzor bo’ladi. Masalan, yuqoridagi uchinchi rangli tenzorlar uchun:

(6)

bo’ladi. Tenzorlarni ko’paytirish masalasiga o’tamiz. (1) da ifodalangan uchinchi rangli tenzorni biror I invariantga ko’paytiraylik:

IA_lmn ni T_imn orqali belgilasak:

(8)

bo’ladi, nihoyat:

(9)

Natijada yana o’sha rangli, tenzor hosil bo’ldi. T_lmn tenzor I invariant bilan

Almn tenzorning ko’paytmasi deyiladi. Invariantni tenzorga ko’paytirish tenzorning rangini o’zgartirmaydi.

Ikkinchi rangli biror tenzor berilgan bo’lsin:

(10)

Uchinchi rangli tenzor va ikkinchi rangli tenzor komponentlarining ko’paytmalarini yozaylik:

B_lmnD_rs ni E_lmnrs orqali belgilasak:

(12)

bo’ladi, demak:

(13)

ya’ni beshinchi rangli tenzor hosil bo’ldi. (12) ga muvofiq: hosil qilingan E_imnrs tenzor berilgan V_imn, D_rs tenzorlarning ko’paytmasi deyiladi. Bizning misolimizda uchinchi rangli tenzor bilan ikkinchi rangli tenzor ko’paytmasi beshinchi rangli tenzor bo’ladi. SHuning singari, birinchi rangli ikki tenzor ko’paytmasi, ya’ni ikki vektor ko’paytmasi ikkinchi rangli tenzor bo’ladi, ikkinchi rangli tenzor bilan birinchi rangli tenzor ko’paytmasi uchinchi rangli tenzor bo’ladi va hokazo. Ikki tenzor ko’paytmasi tenzor bo’lib, uning rangi ko’paytiriluvsh tenzorlar ranglarining yig’indisiga teng. Demak, tenzorlarni bir-biriga ko’paytirish natijasida yuqori rangli tenzor vujudga keladi.

Vektorlar komponentlarining ko’paytmalari tegishli rangli tenzorlarni hosil qiladi. Masalan: