Tеnglama. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli diffеrеnsial

---

1
8-mavzu. OʻZGARMAS KOEFFITSIYENTLI CHIZIQLI BIR JINSLI 
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. XARAKTERISTIK TENGLAMA.
Reja 
1. n-tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli diffеrеnsial 
tеnglama. 
2. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli diffеrеnsial
tеnglama. 
Tayanch so‘z va iboralar. 
O‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli 
diffеrеnsial tеnglama, xarakteristik ko‘phad, xarakteristik tеnglama, Vandervond 
determinanti. 
1.n-tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli diffеrеnsial 
tеnglama. 
Agar bir jinsli differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasi 
(F.Y.S.) ma’lum bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy yechimini topish mumkin.
Oldingi paragraflarda 
n
-tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning 
F.Y.S ning mavjudligi haqidagi teoremani isbotlagan edik. Lekin F.Y.S ni topish 
masalasi bilan shug’ullanmaganmiz.
Mazkur ма’ruzada, agar 
n
-tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglama 
o’zgarmas koeffitsiyentli bo’lsa, u holda uning F.Y.S ni topish mumkinligini
ko’rsatamiz. 
Ushbu
(
)
(
1 )
1
1
[
]
...
0
n
n
n
n
L y
y
a y
a
y
a y
−
−

=
+
+
+
+
=
(1) 
differensial tenglamani qaraymiz. Bu yerda 
j
a
c o n s t
=
, 
1,
j
n
=
haqiqiy o’zgarmas 
sonlar. O’zgarmas koeffitsiyentli (1) ko’rinishdagi differensial tenglamaning 
muhimligi shundaki, uning F.Y.S ni topish masalasi n-darajali algebraik 
tenglamaning ildizlarini o’rganish masalasiga keltiriladi. 
Avvalo (1) differensial tenglamaning biror xususiy yechimini

---

( )
,
x
y x
e

=
c o n s t

=
(2) 
ko‘rinishda izlaymiz. Bu funksiyani ketma-ket n-marta differensiallab
2
(
)
,
, ...,
x
x
n
n
x
y
e
y
e
y
e








=
=
=
hosilalarni topamiz. So‘ngra 
[ ( )]
L y x
ni hisoblaymiz: 
1
1
1
[
]
[
]
(
...
)
(
)
x
n
n
x
x
n
L y
L e
a
a
e
M
e






−
−
=
=
+
+
+
=
. 
(3) 
Bunda, ushbu
1
1
1
(
)
...
n
n
n
n
M
a
a
a




−
−
=
+
+
+
+
(4) 
n-darajali ko‘phadga (1) differensial tenglamaning