Tеnglama. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyеntli chiziqli bir jinsli diffеrеnsial

xarakeristik ko‘phadi
deyiladi.
Agar biror 
0


=
soni (4) xarakteristik ko’phadning ildizi, ya’ni
0
(
)
0
M

=
bo’lsa, u holda 
0
[
]
0
x
L e

=
bo’lib, 
0
( )
x
y x
e

=
funksiya (1) differensial tenglamani-
ng xususiy yechimidan iborat bo’ladi. Bizga algebra kursidan ma’lumki,
1
1
1
(
)
...
0
n
n
n
n
M
a
a
a




−
−
=
+
+
+
+
=
(5) 
xarakteristik tenglamani n ta ildizi mavjud. 
1. Avvalo (5) xarakteristik tenglama n ta har xil oddiy ildizlarga ega bo’lgan 
holni ko’rib chiqamiz. Aniqlik uchun ushbu
1
2
3
,
,
,
,
n
  

(6) 
sonlar (5) xarakteristik tenglamaning har xil 
(
)
0
j
M

=
, 
1,
j
n
=
oddiy ildizlari, 
ya’ni 
(
)
0 ,
1,
j
M
j
n


=
bo’lsin. U holda (6) ko’rinishdagi ildizlarga (1) differinsial 
tenglamaning

---

1
2
1
2
( )
,
( )
, ...,
( )
n
x
x
x
n
y
x
e
y
x
e
y
x
e



=
=
=
(7) 
ko’rinishdagi xususiy yechimlari mos keladi. Bu yechimlar (1) differensial 
tenglamaning F.Y.S ni tashkil qilishini ko’rsatamiz. Shu mqasadda (7) yechimlardan 
tuzilgan Vronskiy determinantini tuzamiz va uning son qiymatini topamiz: 


1
2
( ) ,
( ) , ...,
( )
n
W
y
x
y
x
y
x
1
2
1
2
(
1 )
(
1 )
(
1 )
1
2
( )
( )
...
( )
( )
( )
...
( )
...
...
...
...
( )
( )
...
( )
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
−
−
−



=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n
x
x
x
n
n
n
n
e
e
e
e
e
e
e
e
e















−
−
−
=
=
1
2
1
2
1
2
(
...
)
(
...
)
1
1
1
1
2
1
1
...
1
...
(
)
0
...
...
...
...
...
n
n
n
x
x
i
j
i
j
n
n
n
n
e
e














+
+ +
+
+ +

−
−
−
=
=
−


Algebra kursida oxirgi determinantga 
Vandermond determinanti
deyiladi. 
U noldan farqli bo’lishi uchun 
j

larning har xil bo’lishi zarur va yetarli. Shunday
qilib, agar 
j

lar har xil bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamaning
1
2
1
2
( )
,
( )
,
( )
n
x
x
x
n
y
x
e
y
x
e
y
x
e



=
=
=
yechimlari chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Shuning uchun ular (1) differensial 
tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi. Demak, (1) differensial tenglamaning umumiy 
yechimi 

---

1
1
( )
( )
j
n
n
x
j
j
j
j
j
y x
c y
x
c e

=
=
=
=


(8) 
ko‘rinishda ifodalanadi. Bu yerda 
,
j
c
c o n s t
=
1,
j
n
=
- ixiyoriy o‘zgarmas sonlar.
Faraz qilaylik, (5) xarakteristik tenglamaning 
j


=
ildizlari orasida 
kompleks ildizlar ham bo‘lsin. Masalan, 
1
i




=
=
+
, 
0
 
, 
1
i
=
−
, 
2
i



=
−
bu ildizlarga ushbu
(
)
1
1
2
(
)
2
1
2
( )
,
( )
,
i
x
i
x
y
x
e
u
i u
y
x
e
u
i u




+
−
=
=
+
=
=
−
ko‘rinishida kompleks yechimlar mos keladi. Quyidagi
1
2
1
( )
( )
( )
,
2
y
x
y
x
u
x
+
=
1
2
2
( )
( )
( )
2
y
x
y
x
u
x
−
=
tengliklar o’rinli bo’lgani uchun, ushbu 
1
( )
c o s
,
x
u
x
e
x


=
2
( )
s i n
,
x
u
x
e
x


=
(9) 
1
( )
u
x
va 
2
( )
u
x
funksiyalar ham (1) differensial tenglamaning yechimlaridan iborat 
bo‘ladi.
Endi {
1
2
( ) ,
( ) , ...,
( )
n
y
x
y
x
y
x
}=F.Y.S da (5) xarakteristik tenglamaning 
kompleks ildizlariga mos keluvchi har bir 
1
( )
y
x
, 
2
( )
y
x
- kompleks qo‘shma 
yechimlari juftliklarini 
1
( )
u
x
, 
2
( )
u
x
-haqiqiy yechimlari juftligi bilan almashtiramiz. 
Shu bilan bir qatorda 
( )
j
x
j
y
x
e

=
ko‘rinishidagi haqiqiy yechimlarini 
( )
( )
j
j
u
x
y
x
=
deb olamiz. Natijada (1) differensial tenglama 
1
( )
u
x
, 
2
( )
u
x
…
( )
n
u
x
- haqiqiy 
yechimlarga ega bo‘ladi. Bu yechimlarning ixtiyoriy 
1
2
(
,
)
x
x
R


intervalda 
chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, biror
1
2
,
, ...,
n
b
b
b
sonlar uchun ushbu

---

1
1
2
2
( )
( )
...
( )
0
n
n
b u
x
b u
x
b u
x
+
+
+
=
,
1
2
(
,
)
x
x
R


tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu yerda 
1
( )
u
x
, 
2
( )
u
x
…
( )
n
u
x
larni 
1
2
( ) ,
( ) , ...,
( )
n
y
x
y
x
y
x
lar bilan almashtirib,
1
1
2
2
( )
( )
...
( )
0
n
n
d y
x
d y
x
d y
x
+
+
+

munosabatni hosil qilamiz. Bunda 
1
2
1
2
b
ib
d
−
=
, 
1
2
2
2
b
ib
d
+
=
va xuddi shuningdek, 
2
1
( )
p
y
x
−
, 
2
( )
p
y
x
- kompleks qo‘shma juftlik uchun 
2
1
p
d
−
, 
2
p
d
; haqiqiy 
1
( )
y
x
uchun 
esa 
r
r
u
y
=
, 
r
r
d
b
=
deb olamiz. Agar birorta 
0
j
b

bo‘lsa, u holda 
0
k
d

topilib, 
1
2
( ) ,
( ) , ...,
( )
n
y
x
y
x
y
x
funksiyalar chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bu esa (5) xarakteristik 
tenglamani har xil ildizlariga mos keluvchi 
1
2
( ) ,
( ) , ...,
( )
n
y
x
y
x
y
x
yechimlarining 
chiziqli bog‘lanmaganligiga zid. Shuning uchun barcha
0
j
b
=
, 
1,
j
n
=
bo‘lib, 
1
( )
u
x
, 
2
( )
u
x
…
( )
n
u
x
yechimlar chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi.
Shunday qilib (5) xarakteristik tenglamaning oddiy 
j

ildizlariga haqiqiy 
funksiyalardan tashkil topgan F. Y.S mavjud ekan. Xarakteristik tenglamaning har 
bir haqiqiy 
j

ildizlariga 
j
x
e

ko‘rinishdagi funksiyalar va uning qo‘shma 
kompleks 
i



=

, 
0
 
ildizlariga esa
c o s
x
e
x


,
s in
x
e
x


ko‘rinishdagi 
funksiyalar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi. 
2. Karrali ildizlar holi. 
Avvalo 
( )
p
x
y x
x e

=
ga nisbatan, (1) tenglamaning 
chap tomonidagi L[y] ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Bu yerda 
0
p

- butun son. 
Teorema-1. Agar 

soni (5) xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bo‘lsa, u 
holda 
1
0
1
0 ,
1
[
]
(
...
)
,
p
x
m
m
x
m
p
k
L x e
d x
d x
d
e
p
k


−

−

= 
+
+
+


(10) 
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda 
0
0 ,
d
m
p
k

=
−

---

1. Aytaylik 
0


=
soni, ushbu
3
2
1
2
3
(
)
M
a
a
a




=
+
+
+
xarakteristik ko‘phadning k=2 ikki karrali ildizi, ya’ni
0
(
)
0
M

=
, 
0
(
)
0
M


=
, 
0
(
)
0
M



bo‘lsin. Bu holda
0
0
0
0
2
3
0
0
0 ,
1
[
]
(
) ,
2
(
)
(
1)
[
(
)
(
1) (
2 )
] ,
3
2 !
3 !
x
x
p
x
p
p
p
L x e
e
M
p
M
p p
e
M
x
p p
p
x
p






−
−





=
=



−


+
−
−


munosabatga ega bo‘lamiz. Demak 
0

ikki karrali ildizga tenglamaning
0
x
e

, 
0
x
x e

xususiy yechimlari mos keladi. 
2. Aytaylik 
0


=
soni 
0
(
)
0
M

=
xarakteristik tenglamaning uch karrali 
ildizi, 
ya’ni 
0
(
)
0
M

=
, 
0
(
)
0
M


=
, 
0
(
)
0
M


=
0
(
)
0
M



bo‘lsin. Qaralayotgan holda
formuladan foydalanib, 
0
0
3
0
0 ,
2
[
]
(
)
[
(
1) (
2 )
] ,
3
3 !
x
p
x
p
p
L x e
M
e
p p
p
x
p



−



=


−
−



tenglikni olamiz. Demak, uch karrali ildiz holiga differensial tenglamaning 
0
x
e

, 
0
x
x e

,
0
2
x
x e

ko‘rinishdagi xususiy yechimlariga ega bo‘lamiz. 

---

Demak (5) xarakteristik tenglamaning k karrali 

ildiziga (1) differensial 
tenglamaning 
x
e

, 
x
x e

,
2
x
x e

,…,
1
k
x
x
e

−
ko‘rinishdagi xususiy yechimlar mos kelar ekan. 
Faraz qilaylik, 
1
1
1
(
)
...
0
n
n
n
n
M
a
a
a




−
−
=
+
+
+
+
=
xarakteristik tenglama 
1
2
,
, ...,
k
 

har xil ildizlarga ega bo‘lib, ular mos ravishda 
1
2
1
2
,
, ...,
, (
...
)
k
n
m
m
m
m
m
m
n
+
+
+
=
karrali bo‘lsin. 
Teorema-2.
1)
( )
0
M

=
xarakteristik tenglamaning 
k
m
karrali 
k

ildiziga 
(1) differensial tenglamaning 
k
m
ta 
k
x
e

, 
k
x
x e

,
2
k
x
x e

,…,
1
k
k
m
x
x
e

−
(11) 
xususiy yechimi mos keladi. 
2) Ushbu
{
k
x
e

, 
k
x
x e

,
2
k
x
x e

,…,
1
k
k
m
x
x
e

−
},
1,
k
n
=
ko‘rinishdagi barcha yechimlar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi. 
Natija-2.
Aytaylik 
( ) = 0
M

xarakteristik tenglama 
1
2
,
, ...,
m
k
k
k
karrali 
1
2
,
, ...,
m
 

(
) (
)
1
2
,1
...
m
m
N
m
n
k
k
k
n



+
+
+
=
har xil ildizlarga ega bo‘lsin. U 
holda (1) differensial tenglamaning ixtiyoriy yechimi
1
2
1
2
( )
( )
( )
...
( )
m
x
x
x
m
y x
P
x e
P
x e
P
x e



=
+
+
+
ko‘rinishda bo‘ladi. Bunday ko‘rinishdagi funksiya (1) differensial tenglamaning 
yechimidan iborat bo‘ladi.
Bu yerda

---

1
0
1
1
( )
...
j
j
k
j
j
j
j
k
P
x
C
C x
C
x
−
−
=
+
+
+
1
j
k
−
darajali ko‘phad bo‘lib, uning 
1
2
1
,
, ...,
j
j
j
j
k
C
C
C
−
koeffitsiyentlari ixtiyoriy
o‘zgarmas sonlar. Yuqoridagi tasdiqni quyidagicha ham bayon qilish mumkin. 
Lemma-2
. Agar ushbu
1
2
1
2
( )
( )
...
( )
0
m
x
x
x
m
P
x e
P
x e
P
x e



+
+
+
=
, 
x
R
 
(12) 
tenglik ixtiyoriy 
x
R
 
lar uchun bajarilsa, u holda barcha
1
2
( ) ,
( ) , ...,
( )
m
P
x
P
x
P
x
ko‘phadlarning koeffitsiyentlari nolga teng bo‘ladi. Bu yerda
1
2
,
, ...,
m
 

lar 
xarakteristik tenglamaning 
1
2
,
, ...,
m
k
k
k
karrali har xil ildizlari. 
2. Agar 
1
1
1
(
)
...
0
n
n
n
n
M
a
a
a




−
−
=
+
+
+
+
=
xarakteristik tenglama 
r
karrali 
,
0
i


 
=
+

ko‘rinishdagi kompleks ildizga ega bo‘lsa, u holda bu 
ildizga (1) differensial tenglamaning 
(
)
(
)
1
(
)
,
, ...,
i
x
i
x
r
i
x
e
x e
x
e






+
+
−
+
(13) 
ko’rinishdagi yechimlari mos keladi. Eyler formulasiga ko‘ra
(
)
( c o s
s i n
)
i
x
x
e
e
x
i
x





+
=
+
tenglikni yozish mumkin. (13) yechimlarning haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib 
quyidagi 2r ta haqiqiy yechimlarini hosil qilamiz:
1
c o s
,
c o s
, ...,
c o s
x
x
r
x
e
x x e
x
x
e
x






−
, 
(14) 
1
s in
,
s in
, ...,
s in
x
x
r
x
e
x x e
x
x
e
x






−
. 
( )
0
M

=
xarakteristik tenglamaning 
r
karrali qo‘shma kompleks 
i



=
−
ildiziga ham (14) ko‘rinishdagi chiziqli bog‘lanmagan yechimlar mos keladi. 
Shunday qilib, xarakteristik tenglamaning r karrali kompleks ildiziga (1) 
differensial tenglamaning (14) ko‘rinishdagi 
2
r
ta haqiqiy yechimlari mos keladi. 

---