Tekislikning umumiy

TEKISLIKNING UMUMIY
KO`RINISHDAGI TENGLAMALARI VA ULARNI YASASH
REJA:

• Tekislik haqida tushuncha
• Fazoda tekislik tenglamasi.
• Tekislikning umumiy ko`rinishdagi tenglamalari va

ularni yasash

• Fazoda tekislik bilan bog`liq asosiy masalalar.

• OXYZ - Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan fazoda

berilgan sirt tenglamasi deb,
sirtga tegishli bo`lgan barcha nuqtalarning koordinatalari qanoatlantiradigan, sirtga tegishli bo`lmagan ihtiyoriy nuqtaning koordinatalari qanoatlantirmaydigan tenglamaga aytiladi.

• F(x,y,z) Sirt tenglamasi, sirt hossalarini uning tenglamasini

tahlil qilish yordamida, aniqlashn imkonini beradi.

1. FAZODA ANALITIK GEOMETRIYA. SIRT VA CHIZIQ TENGLAMALARI.

• 1. Asosiy tushunchalar.
• Sirt va uning tenglamasi. Fazodagi sirtni biror shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o`rni sifatida qarash mumkin. Masalan, markazi nuqtada, radiusi R bo`lgan sferik sirt deb, fazodagi 01 nuqtadan bir hil R masofada joylashgan barcha nuqtalarning geometrik o`rniga aytiladi.
• OXYZ - Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan fazoda sirtning barcha nuqtalari uchun umumiy bo`lgan hossani x, y va z koordinatalarga nisbatan tenglama sifatida yozish mumkin bo`ladi.

2. FAZODA TEKISLIK TENGLAMASI.

• Fazodagi eng sodda sirt bu tekislikdir. Fazoda tekislik turli usullar bilan berilishi mumkin. Ularga mos tekislik tenglamalarini topamiz.
• 1. Berilgan nuqtadan o`tuvchi va berilgan vektorga perpendilulyar tekislik tenglamasi.

• Oxyz fazoda Q tekislik bu tekislikda yotuvchi M0x0y0z0 nuqta va takiskka n=A,B,C, perpendikulyar bo`lgan vektor berilgan bo`lsin:

• Q tekislik tenglamasini toppish masalasini qaraylik. Buning uchun Q tekislikda yotuvchi ixtiyoriy M(x,y,z,) nuqtani olamiz. U holda M0M=(x0-x, y-y0, z-z0) va n=(A,B,C,)

va vektorlar o`zaro perpendikulyar bo`ladi. Vektorlar perpendikulyarlik shartiga ko`ra: M0M=0 yoki,
(1)

• Bu tenglama

nuqtadan
o`tuvchi va
vektorga
perpendikulyar tekislik tekislik tenglamasi bo`ladi. vektor esa, bu tekislikning normal vektori deb ataladi.

Biz (1) tenglamada A,B va C
larga turli qiymatlar berib,
nuqtadan o`tuvchi turli tekisliklarning tenglamalarini hosil qilamiz. Shuning uchun (1) tenglama nuqtadan o`tuvchi tekisliklar bog`lamasining tenglamasi ham deyiladi.

• Tekislikning umumiy tenglamasi.

(2)



• Ko`rinishda boladi.

• bu erda A,B va C

koeffisiyentlardan hech
bo`lmasa biri noldan farqli deb qaraladi.

• Aytaylik B=0 bo`lsin. U holda (2) tenglamani quyidagicha o`zgartiramiz:

(3)

• Bu tenglamani (1) tenglama bilan solishtirib, (2) va (3) tenglamalar normal vektorga
• ega va nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak (2) tenglama, A,B, va koeffisiyentlardan kamida biri noldan farqli bo`lganda, Oxyz fazoda tekislikni ifodalar ekan.

• Tekislik umumiy tenglamasining

hususiy hollarini ko`rib chiqamiz.

• 1) D=0 bo`lsin. U holda (2) tenglama Ax+By+Cz =0 ko`rinishda bo`lib, uni 0(0,0,0) nuqta qanoatlantiradi.

Demak bu holda tekislik koordinata boshidan o`tadi.

• 2) C=0 bo`lsin. U holda (2) tenglama

Ax+By+D=0 ko`rinishda bo`lib, uning normal vektori n=(A,B,0) bo`ladi. n=(A,B,O) vektor Oz o`qiga perpendikulyar bo`lgani uchun, tekislik o`qiga parallel bo`ladi.

• Huddi shunga o`hshash:

• B=0 bo`lsa, Ax+Cz+D=0 tekislik oy o`qiga parallel bo`ladi.
• A=0 bo`lsa, By+Cx+D=0 tekislik Ox o`qiga parallel bo`ladi.
• 3) C=D=0 bo`lsin. U holda (10) tenglama Ax+By=0 ko`rinishda bo`lib, bu tekislik Oz o`qiga parallel va koordinata boshidan o`tadi.
• Demak, Ax+By=0 tekislik Oz o`qidan o`tadi.

4. Tekislikning
kesmalardagi tenglamasi.
Oxyz fazodagi tekislik Ox, Oy va Oz koordinata o`qlaridan mos ravishda va ga teng kesmalar ajratsin, ya`ni A(a,0,0,) va C(0,0,c,)
nuqtalardan o`tsin:

nuqtani olib quyidagi vektorlarni qaraymiz:.

Bu vektorlar bitta Q tekislikda yotganligi uchun o`zaro komplanar bo`ladilar. Komplanarlik shartiga ko`ra, ularning aralash ko`paytmasi nolga teng bo`lishi shart. Demak,

3. FAZODA TEKISLIK BILAN BOG`LIQ ASOSIY MASALALAR.

• 1. Ikki tekislik orasidagi burchak. Tekisliklarning parallelik va perpendikulyarlik shartlari.
• Fazoda Q1 va Q2 tekislikla umumiy tenglamalari bilan berilgan bo`lsin:

• Tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchaklardan biri tekisliklar

orasidagi burchak deyiladi. Bu burchak tekisliklarning

normal vektorlari burchakga teng

• va orasidagi bo`ladi.

Bu berilgan nuqtadan berilgan tekislikgacha masofa formulasi deyiladi.

A,B va C nuqtalardan o`tuvchi Q tekislik tenglamasi tuzilsin