Tashqi davriy kuchlarning ta'siri "rezonanssiz" holatda asimptotik kengayishlar

tashqi davriy kuchlarning ta'siri
"rezonanssiz" holatda asimptotik kengayishlar
Keling, aniq vaqtga bog'liq bo'lgan tashqi davriy kuchlar ta'sirida bo'lgan tebranish tizimlarini ko'rib chiqaylik. Harakatning differensial tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin bo'lgan erkinlik darajasi bir bo'lgan tizimlarni ko'rib chiqamiz
bu erda Epsilon - kichik ijobiy parametrdir, - shaklida taqdim etilishi mumkin bo'lgan PPP davrlari bilan AAAga nisbatan davriy bo'lgan funksiya
bu holda, yakuniy yig'indidagi (13.2) AAA koeffitsientlari va ga nisbatan ba'zi polinomlar deb faraz qilamiz.
Ko'rib chiqilgan tenglama (13.1) aniq vaqtga bog'liq bo'lgan kichik chiziqli bo'lmagan tebranish BBB ta'siri ostida bo'lgan omega tabiiy chastotali birlik massasining ba'zi mexanik tizimining tebranishlari tenglamasi sifatida talqin qilinishi mumkin. Ushbu turdagi tenglama bilan tasvirlangan tebranish tizimlarining ko'plab misollari bilan biz allaqachon kirish qismida uchrashganmiz.
(13.1) tenglama bilan tavsiflangan tizim uchun aseptik yechimlarni topish usullarini taqdim etishga o'tishdan oldin, jismoniy mulohazalar asosida davriy ta'sirning tizimga ta'siri tahliliga yana bir bor to'xtalib o'tamiz.
bezovtalanish bo'lmasa, ya'ni Epslon=0 bilan biz sof grammatik tebranishlarni olamiz:
bu yerda a va Phi ixtiyoriy konstantalardir
очевидно, что если мы, применяем метод, изложения предыдущей главе, будем определять функции ААА, то, ввиду зависимости внешнего воздействия от времени, в разложение функций ВВВ в ряд Фурье, благодаря её периодичности по ППП, появляется члены, содержащие РРР и ООО, где н&м целые числа. Таким образом в правых частях дифференциальных уравнений, определяющих ААА, появится гармонические компоненты с комбинационными частотами вида ВВВ.
Совершенно ясно, что когда одно из таких комбинационных частот сделается близких собственной частоте системы, то соответствующей гармоника возмущения силы может оказать значительное влияние на характер колебаний, даже если выраженные возмущении приложенное возмущеней силы соответствующий коэффициент является малым (амплиткда соответствующей гармооники мала). Разумеется, чем меньше этот коэффициент, тем меньше должна быть настройка между собственными и внешней частотой для того, чтобы это влияние было заметным. Таким образом, как это уже нами было установлено выше, в нелинейных колебательных системах резаносные явления имеют место не только при ААА, как в обычных линейных системах, но и в случае, если одна из комбинационных чистот внешнего воздействия близка к собственной частоте системы, т. е. если ВВВ.
Таким образом, в нелинейных систем резонанс может не наступить при выполнении условия
где p и q - целые взаимно простые числа (обычно небольшие).
Введем следующую классификацию различных случаев резонанса:
1) P = q = 1. ; такой случай будем называть «главным» или обыкновенным резонансом.
2) Такой случай будем называть резонансным на обертоне собственной частоты, или демультипликационным резонансом (дровным, поскольку колебания здесь совершаются с частотой, равной дробной части внешней частоты), или параметрическим резонансом. Резонанс этого типа возможен и в линейных системах с периодическими коэффициентами.
3) Такой случай будем называть резонансами на обертоне внешней частоты.
Здесь необходимо отметить следующие обстоятельства. Так как p и q могут принимать всевозможные целочисленные значения, то множество ААА является плотным и, следовательно, отношение. P/Q при соответствующем выборе чисел p и q может приблизиться к любому наперед заданному числу. Поэтому может создаться впечатление, что в нелинейной системе возможен резонанс при произвольных p и q. В действительности же это не так, потому что не все возможности, указанные формулой (13.2), осуществимы, иначе говоря, не при всяких p и q имеет место соответствующий резонанс. Практически разложение (13.2) имеет конечное число членов, и число p и q вполне определяются характером исследуемой колебательной системы.
Выясним теперь, какие резонансы проявляется в первом приближений.
Как и обычно, будем предполагать, что колебания в пеервом приближении остаются по форме чисто гармоническими и на каждом отдельном цикле с достаточной точностью могут приближаться обыкновенной гармоникой; малая же возмущающая сила, какой бы сложной структуры она ни была, может влиять на ход колебаний, вызывая лишь медленное, но систематическое изменение амплитуды и фазы колебания (медленное по сравнению с естественной единой времени - с периодом цикла).
По определению резонанса можем считать, что резонанс как раз и характеризуется тем фактом, что малая возмущающая сила может приводит к значительному, часто весьма большому изменению амплитуды колебаний. Это имеет место тогда, когда работа совершаемая совершаемая внешней силой за цикл колебания, не уничтожается, так как в противном случае внешняя сила вызвала бы лишь малое дрожания.
Выражение возмущающей силы ААА в режиме гармонических колебаний (ААА) содержит, как указывалось выше, различные гармоники с частотами ААА.
Составим выражения виртуальной работы, которую совершала бы это возмущающая сила в режиме гармонических колебаний на виртуальных перемещениях

соответствующих виртуальному приращению амплитуды и фазы колебания.

Для подсчета удобно выражения в виртуальной работы в режиме гармонических колебаний

предоставить с помощью ряда Фурье федя суммы гармонических членов с частотами

Но при усреднении этой суммы за достаточно большой промежуток времени в ней останутся заметными лишь те члены, у которых частоты ААА будут соответственно малыми.
Таким образом, в первом приближении проявляется только такие резонансы, для которых частоты в выражение виртуальной работой (13.5) достаточно близки к нулю. Разумеется. интенсивность резонанса будет тем слабее, чем меньше будет соответствующая амплитуда в выражении (13.5)
После этих, предварительных замечаний перейдем к оформлению методов фактического построения прмближенных решений.
Начнем рассмотрение колебательной системы, описываемой уравнением (13.1), сначала для нерезаносного случая, как наиболее простого, т. е. будем предполагать, что ни одна из комбинационных частот (ААА), входящих в рассматриваемое приближение, ня равна ( и не близка) частоте ААА.
Здесь следует указывать на известный в теории чисел. Если ААА иррационально, то всегда можно подобрать такие целые n и m, что виражение