Tarmoqlararo balansning iqtisodiy-matematik modeli (leontev modeli). Ishning maqsadi

6.3. NAZARIY QISM
Leontev modeli yoki “xarajat-ishlab chiqarish” deb nomlanuvchi tarmoqlararo balans modelini ko‘rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, xalq xo‘jaligining ishlab chiqarish sektori n ta tarmoqqa bo‘lingan (energetika, mashinsozlik, qishloq xo‘jaligi va xokazo).
i, i = 1, 2,…, n tarmoqni ko‘rib chiqamiz. U berilgan vaqt mobaynida (masalan, bir yil) qandaydir mahsulotni x_i hajmda ishlab chiqaradiki, uni yana yalpi mahsulot deb ham atashadi. i-chi tarmoqda ishlab chiqarilgan x_i mahsulot hajmining bir qismi, ya’ni x_ii hajmi shu tarmoqda ishlatiladi, boshqa qismi esa boshqa j = 1, 2,…, n tarmoqlarga x_ij hajmda ishlab chiqarishda istemol uchun ishlatiladi. y_i hajmdagi boshqa qismi esa noishlab chiqarish sohalarida iste’mol uchun sarflanadi va provard istemol hajmi deyiladi. i-chi tarmoq yalpi mahsulotining yuqorida sanab o‘tilgan sohalarga taqsimlanishi balansning quyidagi nisbatiga olib keladi
, i = 1, 2,…, n .
To‘g’ridan-to‘g’ri xarajat koeffitsientlari a_ij ni kiritamizki, u i-chi tarmoqning qancha birlik mahsuloti j tarmoqda bir birlik mahsulot ishlab chiqarishga sarflanishini ko‘rsatadi. U holda i tarmoqda x_ij hajmda ishlab chiqarilgan va j tarmoq ehtiyoji uchun sarflangan mahsulot

ga teng bo‘ladi.
Barcha tarmoqlardagi ishlab chiqarish texnologiyalari o‘zgarmas deb faraz qilsak (ko‘rib chiqilayotgan davrda), unda to‘g’ridan-to‘g’ri xarajat koeffitsentlari a_ij o‘zgarmas bo‘ladi. Unda Leontev modeli deb ataluvchi, quyidagi balans nisbatiga ega bo‘lamiz
, i = 1, 2,…, n . (1)
Yalpi mahsulot vektori X, to‘g’ridan-to‘g’ri xarajatlar matritsasi A va piravord iste’mol vektori Y ni kiritib

Leontev modeli (1) ni matritsa ko‘rinishida yozish mumkin

X = AX + Y (2)

Barcha elementlari a_ij ≥ 0 (nomanfiy) bo‘lgan A ≥ 0 matritsa mahsuldor matritsa deyiladiki, agar shunday nomanfiy vektor X ≥ 0 mavjud bo‘lib, quyidagi tengsizlik bajarilsa

X > AX.
Bu tengsizlik shuni bildiradiki, ushbu iqtisodiy tizimning tarmoqlarida kamida shunday bir ish rejimi mavjudki, bunda mahsulot ishlab chiqarishga sarflangandan ko‘ra ko‘proq mahsulot ishlab chiqariladi. Boshqa so‘zlar bilan aytganda bu rejimda pirovard (qo‘shimcha) mahsulot Y = X – AX > 0 yaratiladi.
Mahsuldor matritsa A ga ega Leontev modeli mahsuldor model deb ataladi.
A matritsaning mahsuldorligini tekshirish uchun nomanfiy elementlarga ega bo‘lgan B matritsaning mavjudligi etarli B = (E – A)^-1 , bunda matritsa E – birlik matritsa
.
Leontevning (2) modeli yordamida, A matritsaning mahsuldorligi sharti bajarilgan holatda, uch turdagi rejalashtirish hisoblarini bajarish mumkin:
1) barcha tarmoqlar yalpi mahsuloti hajmi X ni bilgan (yoki kiritgan) holda barcha tarmoqlar piravord mahsulot hajmini aniqlash mumkin
Y = (E – A)X
2) Barcha tarmoqlar piravord mahsulot Y hajmiga ko‘ra har bir tarmoq yalpi mahsuloti hajmini aniqlash mumkin
X = (E – A)^-1Y (3)
3) Bir qator tarmoqlar uchun yalpi mahsulot qiymatini berib, qolgan tarmoqlar uchun piravord mahsulot hajmini ko‘rsatib, birinchi tarmoqlarning pirovard mahsuloti qiymatini va ikkinchilarini yalpi mahsulot hajmini topish mumkin.
Matritsa
B = (E – A)-1
to‘liq material xarajatlar matritsasi deyiladi. Uning ma’nosi (3) matritsa tengligidan kelib chiqadiki, uni X = BY ko‘rinishida yozish mumkin. B matritsa elementlari, j tarmoq bir birlik mahsulotini pirovard iste’mol sohasiga ishlab chiqarish uchun i-chi tarmoq mahsulotidan qancha ishlab chiqarish zarurligini ko‘rsatadi.