Ta’rifga ko’ra а nuqtaning ε-atrofi а nuqtani o’z ichiga olgan (a- ε, a+ε) intervaldan iborat

a) bo’lsin.

(1) integralda ushbu

(yoki )

almashtirishni bajaramiz.

U holda

,

,

bo’ladi.

Natijada

bo’ladi.

2-misol. Ushbu

integral hisoblansin.

◄ Bu integralda

almashtirishni bajaramiz. Natijada

bo’lib,

bo’ladi.

Agar

bo’lishini e’tiborga olsak, unda

bo’lishi kelib chiqadi. ►

b) bo’lsin. Bu holda (1) integralda ushbu

yoki

almashtirishini bajaramiz. Unda

bo’lib, (1) integral ratsional funksiyaning integraliga keladi:

v) kvadrat uchhad turli va haqiqiy ildizga ega bo’lsin:

.
Bu holda (1) integralda ushbu

almashtirishni bajaramiz. Natijada

bo’lib,

bo’ladi.

3-misol. Ushbu

integral hisoblansin.

◄ Ravshanki,

.

Shuni e’tiborga olib berilgan integralda

almashtirishni bajaramiz. U holda

bo’lib,

bo’ladi.

Endi

bo’lishini e’tiborga olib topamiz:

. ►

Binomial differensialni integrallash.

Ushbu

ifoda binomial differensial deyiladi, bunda -ratsional sonlar.

Binomial differensialning integrali

(2)

ni qaraymiz. Bu integral quyidagi hollarda ratsional funksiyaning integraliga keladi:

1)-butun son. Bu holda va ratsional sonlar maxrajlarining eng kichik umumiy karralisini orqali belgilab, (2) integralda

almashtirish bajarilsa, (2) integral ratsional funksiyaning integraliga keladi.

4-misol. Ushbu

integral hisoblansin.

◄ Bu integralni quyidagicha



yozib, bunda bo’lishini aniqlaymiz.

Integralda

almashtirish bajarib

bo’lishini topamiz.

Ravshanki,

.

Demak,

bo’lib,

bo’ladi. ►

2. 
   - butun son. Bu holda (2) integralda
   

almashtirishni bajarib

bo’lishini topamiz, bunda

.

So’ng ning maxrajini deb

almashtirishni bajaramiz. Natijada (2) integral ratsional funksiyaning integraliga keladi.

5-misol. Ushbu

integral hisoblansin.

◄ Bu integralda

bo’lib,

bo’ladi.

Shuni e’tiborga olib, berilgan integralda,

almashtirishni bajaramiz. Unda

bo’lib,

bo’ladi. ►

3) - butun son. Ma’lumki, (2) integral almashtirish bilan ushbu

ko’rinishga keladi.

Agar keyingi integralda



almashtirish bajarilsa ( soni ning maxraji), u ratsional funksiyaning integraliga keladi.

6-misol. Ushbu

integral hisoblansin.

◄ Ravshanki,

.

Demak,

bo’lib, -butun son bo’ladi.

Berilgan integralda

almashtirish bajarib,

bo’lishini topamiz. ►

Kvadratik irratsional funksiyalarni Eyler almashtirishi yordamida

integrallash

Ba’zi hollarda

_

ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi.

Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
I. Eylerning birinchi almashtirishi. Agar _ bo’lsa,

_{ }

almashtirish qilamiz. U holda,

_+_

bo’ladi. Bundan _ ni _ ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.

Bu yerda _ ham _ ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi.

Shunday qilib,

_

bo’lib u _ ning ratsional funksiyasi bo’ladi.

II. Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar _ bo’lsa,

_

almashtirish qilamiz. (aniqlik uchun _ oldidagi _ ishorani olamiz).

U holda

(_)²=(_)², _

Bundan _ ni _ ning quyidagi ratsional funksiyasini aniqlaymiz.

_{ }.

Shunday qilib, _ va _ lar _ orqali ratsional ifodalangani uchun va _

larning t orqali ifodalarini berilgan integralga qo’yib t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga kelamiz.

III. Eylerning uchinchi almashtirishi. Aytaylik _va _ lar _ uchhadning haqiqiy ildizlari bo’lsin.

_=_

deb olamiz.

U holda,

_+_+c=_(x-_)(x-_)

bo’lgani uchun

_=_, _(x-_)(x-_)_²t²

_(x-_)=_²

bo’ladi.

Bundan esa

_{ }

ni hosil qilamiz. va _ lar t ning ratsional funksiyasi bo’lganligi uchun, berilgan integral t ning ratsional funksiyasini integralidan iborat bo’ladi.

Ba’zi bir irratsional funksiyalarni trigonometrik almashtirishlar yordamida ham hisoblash mumkin.

_

integralni qaraymiz.

Bu yerda a_o va _0 deb olamiz.

Ildiz ostidagi uchhadning ko’rinishini o’zgartiramiz.

_=a_²+_, _

deb olsak,

_

bo’ladi va

_

tenglik hosil bo’ladi.

Bu yerda _ ni va _ larni qiymatlari turlicha bo’lishi mumkin.
Ularning qiymatlariga qarab, ba’zi bir belgilashlardan so’ng berilgan integral quyidagi integrallardan biriga keltiriladi.

I. _,

_,

III. _.

Bunda I-integral t= _ tgz almashtirish orqali, II-integral _ almashtirish orqali, III-integral _ almashtirish orqali

_

integralni hisoblashga keltiriladi.

Masalalar yechish

1.Quyidagi integralni hisoblaymiz.



2.Quyidagi integralni hisoblaymiz.



Bu yerda quyidagi almashtirishni bajaramiz:



3.Quyidagi integralni hisoblaymiz.

Bu yerda quyidagi almashtirishni bajaramiz:

; ; ;







4.Quyidagi integralni hisoblaymiz.





5.Quyidagi integralni hisoblaymiz.



kabi almashtirish bajaramiz

Bu yerda

almashtirish olamiz.

6.Quyidagi integralni hisoblaymiz.

Ushbu

intеgral hisоblaymiz.

Intеgralda o’zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz:

.

Unda

bo’lib, undan

bo’lishi kеlib chiqadi.

Natijada

bo’lishini tоpamiz.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Matematik analiz. I,II-qism. T.Azlarov, H.Mansurov. “O’zbekiston” nashriyoti.1993-yil.

2. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. II-qism. A.Sa’dullayev, X.Mansurov ,G. Xudayberganov,

3. Fixtengols G . M “ Matematik analiz asoslari “ I-tom Toshkent 1970 y