Стороны параллелограмма Формулы определения длин сторон параллелограмма: 1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a =
√d12 + d22 - 2d1d2·cosγ
=
√d12 + d22 + 2d1d2·cosδ
2
2
b =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosγ
=
√d12 + d22 - 2d1d2·cosδ
2
2
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
a =
√2d12 + 2d22 - 4b2
2
b =
√2d12 + 2d22 - 4a2
2
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
a =
hb
sin α
b =
ha
sin α
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
a =
S
ha
b =
S
hb
Диагонали параллелограмма Определение.
Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.
Параллелограмм имеет две диагонали - длинную d1, и короткую - d2 Формулы определения длины диагонали параллелограмма: 1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 - 2ab·cosβ
d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √a2 + b2 - 2ab·cosα
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √2a2 + 2b2 - d22 d2 = √2a2 + 2b2 - d12 4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
d1 =
2S
=
2S
d2·sinγ
d2·sinδ
d2 =
2S
=
2S
d1·sinγ
d1·sinδ
Периметр параллелограмма Определение.
Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма: 1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √2d12 + 2d22 - 4a2 P = 2b + √2d12 + 2d22 - 4b2 3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
P =
2(b +
hb
)
sin α
P =
2(a +
ha
)
sin α
Площадь параллелограмма Определение.
Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма: 1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha S = b · hb 2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
S =
1
d1d2 sin γ
2
S =
1
d1d2 sin δ
2
Определение.
Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.
Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.
Рис.1
Рис.2
Признаки ромба Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):
АВ = ВС = СD = AD
2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:
AC┴BD
3. Одна из диагоналей (бисектрисса) делит содержащие её углы пополам:
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
4. Если все высоты равны:
BN = DL = BM = DK
5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
6. Если в параллелограмм можно вписать круг.
Основные свойства ромба 1. Имеет все свойства параллелограмма 2. Диагонали перпендикулярны:
AC┴BD
3. Диагонали являются биссектрисами его углов:
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:
AC2 + BD2 = 4AB2 5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.
6. В любой ромб можно вписать окружность.
7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.
Сторона ромба Формулы определения длины стороны ромба: 1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
a =
S
ha
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
a =
√S
√sinα
a =
√S
√sinβ
3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
a =
S
2r
4. Формула стороны ромба через две диагонали:
a =
√d12 + d22
2
5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):
a =
d1
√2 + 2 cosα
a =
d2
√2 - 2 cosβ
6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
a =
d1
2cos(α/2)
a =
d1
2sin(β/2)
7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
a =
d2
2cos(β/2)
a =
d2
2sin(α/2)
8. Формула стороны ромба через периметр:
a =
Р
4
Диагонали ромба Определение.
Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.
Ромб имеет две диагонали - длинную d1, и короткую - d2 Формулы определения длины диагонали ромба: 1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)
d1 = a√2 + 2 · cosα
d1 = a√2 - 2 · cosβ
2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)
d2 = a√2 + 2 · cosβ
d2 = a√2 - 2 · cosα
3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:
d1 = 2a · cos(α/2)
d1 = 2a · sin(β/2)
4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:
d2 = 2a · sin(α/2)
d2 = 2a · cos(β/2)
5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:
d1 = √4a2 - d22 d2 = √4a2 - d12 6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:
d1 = d2 · tg(β/2)
d2 = d1 · tg(α/2)
7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:
d1 =
2S
d2
d2 =
2S
d1
8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:
d1 =
2r
sin(α/2)
d2 =
2r
sin(β/2)
Периметр ромба Определение.
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можна найти за формулами указанными выше.
Формула определения длины периметра ромба: Формула периметра ромба через сторону ромба:
P = 4a
Площадь ромба Определение.
Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.
Формулы определения площади ромба: 1. Формула площади ромба через сторону и высоту:
S = a · ha 2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:
S = a2 · sinα
3. Формула площади ромба через сторону и радиус:
S = 2a · r
4. Формула площади ромба через две диагонали:
S =
1
d1d2
2
5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:
S =
4r2
sinα
6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):
