Стороны прямоугольника Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.
Формулы определения длин сторон прямоугольника 1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d2 - b2 b = √d2 - a2 2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
a =
S
b
b =
S
a
3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:
a =
P - 2b
2
b =
P - 2a
2
4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:
a = d sinα
b = d cosα
5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:
a = d sin
β
2
b = d cos
β
2
Диагональ прямоугольника Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.
Формулы определения длины диагонали прямоугольника 1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a2 + b2 2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
d =
√S2 + a4
=
√S2 + b4
a
b
3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
d =
√P2 - 4Pa + 8a2
=
√P2 - 4Pb + 8b2
2
2
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = Dо 6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
d =
a
sin α
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
d =
b
cos α
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S : sin β
Периметр прямоугольника Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы определения длины периметру прямоугольника 1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
P =
2S + 2a2
=
2S + 2b2
a
b
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d2 - a2) = 2(b + √d2 - b2)
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R2 - a2) = 2(b + √4R2 - b2)
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √Do2 - a2) = 2(b + √Do2 - b2)
Площадь прямоугольника Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.
Формулы определения площади прямоугольника 1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
S =
Pa - 2a2
=
Pb - 2b2
2
2
3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:
S = a√d2 - a2 = b√d2 - b2 4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:
S =
d2 · sin β
2
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a√4R2 - a2 = b√4R2 - b2 6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a√Do2 - a2 = b√Do2 - b2
Окружность описанная вокруг прямоугольника Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника 1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
R =
√a2 + b2
2
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
R =
√P2 - 4Pa + 8a2
=
√P2 - 4Pb + 8b2
4
4
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:
R =
√S2 + a4
=
√S2 + b4
2a
2b
4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
R =
d
2
5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:
R =
Dо
2
6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
R =
a
2sin α
7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
R =
b
2cos α
8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
R =
√2S : sin β
2
Угол между стороной и диагональю прямоугольника Формулы определения угла между стороной и диагональю 1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
sin α =
a
d
cos α =
b
d
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
α =
β
2
Угол между диагоналями прямоугольника Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника 1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
β = 2α
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
sin β =
2S
d2
Определение.
Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.
Рис.1
Рис.2
Признаки параллелограмма Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
AB||CD, BC||AD
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
AB = CD, BC = AD
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
AO = OC, BO = OD
6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Основные свойства параллелограмма Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
AO = CO =
d1
2
BO = DO =
d2
2
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2 11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
