Taqqoslamalar va ularning xossalari Bizga va butun sonlar va qandaydir natural son berilgan bo‘lsin. 1-tarif

12-teorema. Z to‘plamda modul bo‘yicha kiritilgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.

Isbot. Teoremani isbotlash uchun ekvivalentlikning uchta shartini o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz:

1) chunki soni ga bo‘linadi, demak

2) agar bo‘lsa, u holda son ga bo‘linadi. Bundan esa, soni ham ga bo‘linishi, ya’ni ekanligi kelib chiqadi. Demak, agar dan kelib chiqadi.

3) agar va bo‘lsa, u holda va sonlar ga bo‘linadi, son ham ga bo‘lingani uchun kelib chiqadi. Demak, va ekanligidan kelib chiqadi. 

Ma’lumki, xar qanday ekvivalentlik munosabati berilgan to‘plamni kesishmaydigan sinflarga ajratadi. Yuqorida aniqlangan ekvivalentlik munosabati bo‘yicha hosil qilingan sinflarga chegirmalar sinflari deyiladi.

2-teoremaga asosan, ayirma ga bo‘linsa, va sonlarni ga bo‘lgandagi qoldiqlari teng bo‘ladi, demak, modul bo‘yicha aniqlangan chegirmalar sinfi ga bo‘linganda bir hil qoldiq qoladigan butun sonlardan iborat bo‘ladi. Butun sonni ga bo‘lgandagi qoldiqlar sonlaridan biriga teng bo‘lishini hisobga olsak, modul bo‘yicha aniqlangan chegirmalar ta sinfdan tashkil topadi. Demak, biz quyidagi sinflarga ega bo‘lamiz:

Ta’kidlash joizki, modul bo‘yicha chegirmalar sinflari-ning ta’rifidan munosabat munosabatga teng kuchlidir. 3-teoremaga asosan, to‘plamnining modul bo‘yicha turli chegirmalar sinfi faktor to‘plamning elementlari bo‘ladi, ushbu faktor to‘plam kabi belgilanadi, ya’ni

Yuqorida keltirilgan xossalar faktor to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amalarini kiritishga imkon beradi, ya’ni elementlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini quyidagicha aniqlaymiz:

Bu aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari binar algebraik amallar bo‘ladi. Haqiqatdan ham, 37.4 va 37.5-xossalarga asosan, yig‘indi va ko‘paytmalar va elementlarning tanlanishiga bog‘liq emas.

Quyidagi jadvalda to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallari jadvallarini keltiramiz:

+

Ravshanki, to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari kommutativlik, assotsiativlik va distributivlik qonunlariga bo‘ysunadi, ya’ni

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

Hosil qilingan chegirmalar sinflari uchun quyidagi xossalar o‘rinli.

13-xossa. a) agar sinfdagi biror son bilan o‘zaro tub bo‘lsa, u holda bu sinfdagi barcha sonlar bilan ham o‘zaro tub bo‘ladi;

b) juft-jufti bilan mo‘dul bo‘yicha taqqoslanmaydigan ixtiyoriy ta sonlari uchun

c) agar bo‘lsa,