Takrorli kombinatsiyalar Takrorli o‘rin almashtirishlar

3- teorema. ta elementdan tadan takrorli gruppalashlar soni ga teng, ya’ni .
Isboti. to‘plam uchun ta elementdan tadan takrorli gruppalashlar sonini aniqlash zarur. Har bir takrorli gruppalashdagi elementlarni ta qismga shunday bo‘lish mumkinki, har bir - bo‘lakda element qanchadir marta qatnashadi yoki biror marta ham qatnashmaydi. Har bir shunday gruppalashni nol va birlardan iborat kod yordamida quyidagicha shifrlaymiz: har bir element o‘rniga bu element - bo‘lakda necha marta qatnashsa, shuncha birlar yozamiz (tabiiyki, bu element biror marta ham qatnashmasligi mumkin, u holda hech narsa yozilmaydi); turli bo‘lak elementlarini bir-biridan nollar bilan ajratamiz (bu yerda yonma-yon joylashgan nollar hosil bo‘lishi mumkin – bu nollar mos elementlarning gruppalashda qatnashmaganligini anglatadi). Masalan, to‘plam elementlaridan tuzilgan 6ta elementdan 9tadan takrorli gruppalashga shifr, 6ta elementdan 12tadan takrorli gruppalashga esa shifr, aksincha, shifrga 6ta elementdan 6tadan takrorli gruppalash mos keladi.
Shunday qilib, ta elementdan tadan har bir takrorli gruppalash uchun qandaydir ta birlar va ( )ta nollardan iborat ketma-ketlikni va, aksincha, ta birlar va ( )ta nollardan tashkil topgan har bir ketma-ketlik uchun ta elementdan tadan biror takrorli gruppalashni mos qo‘ygan bo‘lamiz (bir qiymatli moslik o‘rnatildi). Binobarin, ta elementdan tadan takrorli gruppalashlar soni ( )ta nol va ta birlardan tashkil topgan kortej elementlaridan tuzilgan takrorli o‘rin almashtirishlar soniga, ya’ni ga tengdir. Demak,
.
4- misol. Har birining yoqlariga 1, 2, 3, 4, 5 va 6 sonlari yozilgan kub shaklidagi ikkita soqqalarni tashlaganda jami nechta sonlar juftligini hosil qilish mumkin?
Soqqalarni tashlaganda jami quyidagi 21 imkoniyatlardan biri ro‘y beradi:


.
Bu juftliklar oltita elementdan ikkitadan takrorli gruppalashlarni tashkil etadi. Ularning soni 3- teoremaga asosan bo‘ladi.