T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

m 
natural  sonlar  uchun 
cm < dn
  o‘rinli.  Bundan  {aCn}  ketma-ketlikning yuqoridan 
chegaralanganligi  kelib  chiqadi.  Demak,  bu  ketma-ketlikning  limiti  mavjud: 
lim 
aCyi =
 sup{aCn}. 
Shunga  o‘xshash 
{
a
dn} 
ketma-ketlikning  quyidan
7-§. Elemental- funksiyalar
darajasini aniqlaymiz. Buning uchun quyidagi yordamchi tasdiqdan foydalanamiz.
Aytaylik, ^ ratsional va 
a
 musbat son boMsin.  Agar p va 
q
  lar musbat butun

---

(1 + 
х)
10  = 
a
 tenglamaning yechimini 
(3
 deb belgilaymiz. U holda Bemulli 
tengsizligiga ko‘ra 
a
  = (1+  /?)lon  >  1 + /? ■
 I0 n. Bundan /?  < 
Buni e’tiborga
olsak, 
adn -
 ac"  = a c"(aT ^ -  1)  < a c" 
~
  boMadi.  {ac"}  ketma-ketlikning 
chegaranganligini, 
ketma-ketlikning  cheksiz  kichik  ketma-ketlik  ekanligini
e’tiborga olsak, Jim (ad"  -  a c")  = 0, bundan sup{ac"} = inf{ad"} kelib chiqadi> 
Shu umumiy limitni 
aa
 deb qabul qilamiz.
Agar 
a < l,a  >
 0  bo‘lsa,  u  holda  a “  = —
deb  olamiz. 
a >
 0  va 
a <
 0
\a)
boMganda, a“  =  ^
 deb qabul qilamiz.
Shunday qilib, ixtiyoriy haqiqiy 
x
 son uchun 
ax
 ni aniqladik. Shuni ta’kidlash 
joizki, 
a*
  uchun  butun  ko^rsatkichli  darajamng barcha xossalari  o'rinli  ekanligini 
tekshirib ko‘rish mumkin (4-53-masala).
2
. Ko'rsatkichli funksiya va uning xossalari.
4.41-ta’rif. 
у
 = 
ax
  (a > 0, a 
Ф
  1)  ko‘rinishidagi  funksiya 
ko 'rsatkichli 
funksiya
 deyiladi.
4.42-xossa.
  Ko‘rsatkichli  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  (—■
oo; +оо), 
qiymatlar to‘plami (0, +oo)  dan iborat.
Isbot. 
0  
Musbat  sonning  haqiqiy  darajasi  barcha  haqiqiy  sonlar  uchun 
aniqlangan.
Aytaylik, 
a >
  1  boMsin.  U holda 
a
 =  1 + 
X
 deb olsak, Я >  0  boMadi. 
an  = 
(1 -I- Л)п >1-1- пЛ tengsizlikdan 
n -*
  +oo da 
an
  ->  +oo kelib chiqadi. Demak, 
ax 
istalgancha katta  qiymatlarga  ega. 
a~n
  =  
—
 munosabatdan  n -»  +oo  da 
a~n
  -» 0 
kelib chiqadi. ♦
Shunga o‘xshash, 0  <  
a <
  1 holni ham tekshirish mumkin (4-54-masala).
4.43-xossa.
 Agar 
a >
  1 va 
x
 6  (0; 4-oo) boMsa, u holda 
ax >
  1 boMadi.
Agar a >  1 va 
x E
 
(-oo; 0) boMsa, u holda 
ax <
  1 boMadi.
Isbot. 
0  
a > \,x
 > 0  boMsin.  U holda 
a =
  1 + Л deb olsak, Я > 0  boMadi. 
Bemulli tengsizligiga ko‘ra 
ax
  =  (1 + Я)*  >  1 + 
Ax >
  1.
114

---

Agar 
a >
  1 va 
x
  6  ( —
00
; 0) boMsin. U holda 
ax
  = —  <  1 boMadi. ♦
a  x
4.44-xossa.
  Agar 
a
  >  1  boMganda 
ax
  funksiya  o‘suvchi,  0  < 
a < 1 
boMganda kamayuvchi boMadi.
Isbot.  0 
a 
> 
1,хг  < x2
  boMsin,  u holda a*2 — a*1 
= a
*1
 
( a * 2-* 1 
— 1)  > 0, 
chunki a*2-*1  >  1. Bundan 
aXi
  <  a*2. ♦
Shu kabi, 0 < 
a <
  1  boMganda 
ax
 funksiya kamayuvchi ekanligini ko‘rsatish 
mumkin.
4.45-xossa.
 
Ko'rsatkichli  funksiya 
(-oo;+oc) 
intervalning  har  bir  nuqtasida 
uzluksiz.
Isbot. 
0  
Dastlab, lim 
ax —
  1 ekanligini ko‘rsatamiz.  Aytaylik, 
a 
>
 
1 boMsin.
_i 
1
U  holda 
an >
  1  boMadi.  Agar fl"  =  1  + 
an
  deb olsak,  u  holda 
a
  =  (1 + 
an)n >
1  + 
nan,
  bundan 
an <
 
boMadi. 
an
  ni  tanlashimizga ko‘ra 
an  >
 0.  Endi  0  < 
an  <
 
tengsizlikda limitga o‘tsak,  lim 
an
  =  0 kelib chiqadi
n
 
71
—*00
£  
1
Ushbu an  =  1 + a n tenglikda limitga o'tsak,  lim  a*  =  1 hosil boMadi.
П-too
1
1
 
1 
_ i 
1
—  < x < -  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
x
  larda  — = 
a  * < ax < a*
an
tengsizlik o'nnli. Bundan lim 
ax =
  1 kelib chiqadi
ДГ-+0
Endi  ixtiyoriy 
x0
  G  ( —
00
, +
00
)  uchun  lim 
ax
  = 
ax°
  ekanligini  isbotlaymiz.
x-*x0
lim 
ax =
  lim (a10 ■
 
ax~x°)
  = 
ax°
  lim 
ax~x°
  = 
ax°
 • 1  =  
ax°.
x-*x0 
x-*x0 
x-*x0
Agar 0  < 
a <
  1 boMsa, u holda  lim 
ax
  =   lim  —
= ---—
=?
 =  —
= 
ax°.
" ' " ( : )  
Д ? ,®  
©
Shunday qilib, ko'rsatkichli funksiya barcha л: 6 ( —
oo, 
+
00
) larda uzluksiz. ♦
3. Giperbolik funksiyalar. 
Quyidagi ko'rinishdagi funksiyalar mos ravishda:
—x
4.46-ta’rif. 
j= c h r= -----   -giperbolik  kosinus,  >^=shr=  ----
giperbolik  sinus, 
y=thx
=-— ^— -giperbolik  tangens, >>=cth;r= 
-giperbolik
ex + e  x 
ex — e~x
kotangens deyiladi.
115

---

Bu funksiyalaming xossalari 57-61- masalalarda qaralgan.
4.  Logarifmik  funksiya. 
ax
  ko‘rsatkichli  funkiyaning  aniqlanish  sohasi 
(—oo, +
00
),  qiymatlar  to‘plami  (0,+
00
)  dan  iborat  boMib,  u  aniqlanish  sohasida 
uzluksiz, 
a >
  1  (0  < 
a
 <  1)  boMganda  o‘suvchi  (kamayuvchi).  Bundan  teskari 
funksiyaning mavjudligi  va uzluksizligi haqidagi  4.31-teorema shartlari bajariladi. 
Demak,  aniqlanish sohasi  (0 ,+co),  qiymatlar to‘plami  ( —oo,+
00
)  boMgan  teskan 
funksiya mavjud.  Bu funksiya asosi 
a
  boMgan  logarifmik  funksiya deb  ataladi  va 
quyidagichabelgilanadi:  loga x.
Shuningdek,  teskari  funksiyaning  mavjudligi  va  uzluksizligi  haqidagi 
teoremadan 
fix )
  =  loga 
x
  funksiyaning quyidagi xossalari kelib chiqadi.
4.47-xossa.
 
fix )
  =  loga 
x 
funksiya a >  1  da o‘suvchi,  0  < 
a
 <
1 da kamayuvchi boMadi.
4.48-xossa.
 
fix )
  =  loga x 
funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz.
Logarifmik 
funksiya  grafigi 
abssissa  o‘qini  (1;0)  nuqtada  kesib 
oMadi (27-rasm).
5. Darajali funksiya. 
27-rasm
4.49-ta’rif.
 
fix)
  =  
Xй
  ko‘rinishidagi funksiya 
darajali funksiya
 deyiladi, bu 
yerda 
ц
 o‘zgarmas haqiqiy son.
Darajali funksiyaning aniqlanish sohasi д ga bogMiq boMadi.  Masalan,  agar
1
 
1
fix ) =
 xzm, 
m
 6 
N
  boMsa,  u  holda 
D(f)
  =  [0,+
00
);  agar 
fix ) =
 xzm-i, 
m E N
boMsa, uholda 
D(J)
  =  (—
00
, +
00
) boMadi. Agar 
f i x ) = ^ , m E N
 boMsa, u holda
D if)
  =  (—oo,0) U (0л+оо);  agar 
fix )
  = 
xm,m
 6 
N
  boMsa,  u  holda 
D if) =
(—
00
, +
00
) boMadi.
Agar  /i  irratsional  son  boMsa,  sonning  irratsional  darajasi  musbat  haqiqiy 
sonlarda aniqlanganligidan, 
fix)
  = 
x**
  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  (0, +
00
) 
boMadi.
1 1 6

---

4.50-xossa. 
ц
 
> 0 
bo‘lganda  darajali  funksiya  o‘suvchi, 
ц
 
< 0 
bo‘lganda 
darajali funksiya kamayuvchi bo‘ladi.
Isbot.  0  Haqiqatan  ham, 
f(x)
  = 
x*
  darajali  funksiyani  logarifmik  va 
ko‘rsatkichli  funksiyalar qatnashgan  murakkab  funksiya deb  qarashimiz mumkin: 
xv
  = 
е^1пх.
  U  holda 
ц >
  0  bo‘lsa, 
>  1  va 
Inx
  funksiyaning  o‘suvchi 
ekanligidan  (e^)t,ur  o‘suvchi  bo‘ladi.  Agar 
ц
 < 0  bo‘lsa, 
<  1  va 
Inx 
funksiyaning o‘suvchi ekanligidan (e ^),n* kamayuvchi boiadi. ♦
4.51-xossa.
 
f[_x)
  = 
x^
 funksiya aniqlanish sohasi (0;+oo) da uzluksiz.
Isbot. 
0  Murakkab  funksiyaning  uzluksizligi  haqidagi  teoremadan  kelib
chiqadi. ♦
6
. 
Trigonometrik  funksiyalar. 
Trigonometrik  funksiyalar  maktabda, 
akademik  litsey  va  kasb-hunar  kollejlarida  o‘rganilgan.  Shu  sababli,  bu  yerda 
trigonometrik  funksiyalaming  aniqlanish  sohasida  uzluksizligini  isbotlash  bilan 
chegaralanamiz.
4.52-teorema.
 
sinx,cosx,tgx,ctgx
 
funksiyalar  o‘zining  aniqlanish 
sohalarida uzluksiz.
Isbot. 
0  x0 6 
D(sin)
  =  (—oo, +oo)  boisin.  lim 
sinx
  =  
sinx0
  ekanligini
x->xQ
ko‘rsatishimiz  lozim.  Quyidagi  almashtirishlami  bajaramiz: 
sinx - sinx0  =
Darajali funksiyaning ba’zi xossalarini sanab o ‘tamiz.
X-X
q
n
  . 
x
-X
q
 
x+xQ 
x+x0
 
sin—  
sin
s m
~