T. I. Umarov s. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

Mavzuning tayanch tushunchalari. 
 
 
Nochiziqli  dasturlash,  chiziqli  bo’lmagan  bog’lanishlar,  nochiziqli 
maqsadli  funksiya,  chiziqli  bo’lmagan  cheklash  shartlari,  butun  sonli  yechim, 
shartli  ekstremum,  Lagranj  ko’paytuvchilar  usuli,  Lagranj  funksiyasi,  Lagranj 
ko’paytuvchilari,  global  ekstremum,  cheklash  shartlari  tenglik  va  tengsizliklar 
tarzida, shartli ekstremum masalasini yechishning sonli usuli. 
 
Takrorlash uchun savollar 
 
1.  Chiziqli bo’lmagan (nochiziqli) bog’lanishlar deb nimani tushunasiz? 
2.  Chiziqli bo’lmagan dasturlash masalasi qanday hollarda kelib chiqadi? 
3.  Chiziqli bo’lmagan dasturlash masalasi nima? 
4.  Chiziqli bo’lmagan dasturlash masalasi umumiy holda qanday qo’yiladi? 
5.  Shartli ekstremum masalasi nima? 
6.  Chiziqli bo’lmagan dasturlash masalasidan qanday holda CHD masalasi kelib 
chiqadi? 
7.  CHBD masalasini yechishning umumiy (universal) usullari mavjudmi? 
8.  CHBD masalalarini grafik usulda yechish mumkinki va qanday? 
9.  CHBD masalasining qanday xillari bo’lishi mumkin? 
10. Qanday funksiyaga Lagranj funksiyasi deyiladi? 
11. Lagranj ko’paytuvchilari nima? 
12. Lagranj ko’paytuvchilar usulining mohiyati nimadan iborat? 
13. Global ekstremum nima? 
14. Lokal ekstremum nima? 
15. Lagranj  usulini CHBD  masalasining cheklash shartlari tenglik tarzida bo’lsa 
qanday qo’llaniladi? 
16. Lagranj  usulini  CHBD  masalasining  cheklash  shartlari  tengsizlik  tarzida 
bo’lsa qo’llash mumkinmi? 
17. Shartli  ekstremum  masalasini  sonli  usullar  bilan  yechishning  mohiyati 
nimadan iborat? 
18. Iqtisodiyotga oid  masalalarni CHBD  usul  bilan  yechishning  mohiyati  nima? 
Misollar keltirib yecha olasizmi? 
 

 
104 
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar. 
1. 
2
1
3
4
6
x
x
F



  funksiyaning 
1
x
  va 
2
x
  o’zgaruvchilar 
1
2
2
2
1

 x
x
  tenglama 
bilan bog’langan shartdagi ekstremumni toping. 
2. 
2
2
1
x
x
z


  funksiyaning 
1
2
2
1

 x
x
  shartda  ekstremumini  Lagranj 
ko’paytuvchilar usulidan foydalanib toping. 
3. 
2
1
x
x
y


  funksiyaning 
1
2
2
1

 x
x
  shartda  ekstremumini  Lagranj 
ko’paytuvchilar usulidan foydalanib toping. 
4.  Ushbu 
2
1
x
x
y


  funksiyaning 
1
x
  va 
2
x
  o’zgaruvchilar 
0
5
3
2


 y
x
 
tenglama 
bilan 
bog’langanlik 
shartida 
ekstremumini 
Lagranj 
ko’paytuvchilar usulidan foydalanib toping. 
 
Adabiyotlar 
1.  Abramov  L.M.,  Kapustin  V.F.  Matematicheskoye  programmirovaniye. 
Teoriya vipuklogo programmirovaniya. Izd-vo: «SPbGU», 2001 g., 264 str. 
2.  Kostevich  L.S.  Matematicheskoye  programmirovaniye.  Izd-vo:  Novoye 
znaniye, 2003 g., 214 s. 
3.  Safayeva  Q.,  Beknazarova  N.  Operatsiyalarni  tekshirishning  matematik 
usullari. 2-qism, -Toshkent, 1990. 
4.  Soatov Yo.U.  Oliy matematika. J.3. – Toshkent, O’zbekiston, 1996.  
5.  Nasritdinov  G.  Matematicheskoye  programmirovaniye.  Teksti  leksiy.  –
Tashkent, «Universitet», 2002 g., 72 str. 
 

 
105 
10- mavzu. Tarmoqlararo balans  
 
Reja: 
10.1 Tarmoqlararo balans usulining ahamiyati, mazmuni va vazifalari 
10.2 Tarmoqlararo hisobot balansining statistik modellari 
10.3 Tarmoqlararo rejali balansining dinamik modellari 
 
 
10.1 Tarmoqlararo balans usulining ahamiyati,  mazmuni va vazifalari 
 
Tarmoqlararo  balans  usuli  asosiy  iqtisodiyot-matematik  usullardan  biri 
bo’lib,  alohida  korxona  darajasida  ham,  xalq  xo’jaligini  tarmog’i  darajasida 
ham,  butun  xalq  xo’jaligi  darajasida  ham  mahsulot  ishlab  chiqarish  va 
taqsimlashni  tahlil  qilish,    me’yorlash  rejalashtirish  hamda  taxminlashtirish 
uchun keng qo’llaniladi va katta ahamiyatga ega. 
Tarmoqlararo  balansning  bosh  g’oyasi  shundan  iboratki,  ijtimoiy  ishlab 
chiqarish  jarayonida  har  bir  tarmoq,  bir  tomondan  ishlab  chiqaruvchi,  ikkinchi 
tomondan esa iste’molchi tarzida qatnashadi. 
Tarmoqlararo  balans  modeli  ishlab  chiqarishning  barcha  tarmoqlari 
o’rtasidagi o’zaro mahsulot yetkazib berish, aossiy ishlab chiqarish fondlarining 
hajmi  va  tarmoq  strukturasini  hamda  xalq  xo’jaligini  mehnat  resurslari  bilan 
ta’minlanganligi  va  shu  kabilar  haqidagi  yagona  axborot  tizimidir.  Bunday 
model barcha tarmoqlararo aloqalarni aniq hisobga olish asosida rejaning balans 
qilingan ko’rsatkichlarini hisoblab chiqish va ularning mumkin bo’lgan ko’pgina 
variantlarni ko’rib chiqish muammosini hal qilish imkonini beradi. 
Tarmoqlararo  balans  ijtimoiy  ishlab  chiqarishda  mavjud  bo’lgan  butun 
aloqalar  zanjirini  aniqlash  muammosini  yechish  imkonini  yaratadi.  Analitik 
ahamiyatga ko’ra tarmoqlararo balans hisobot va rejali balanslarga bo’linadi. 
Tarmoqlararo hisobot balanslari moddiy ishlab chiqarish va hisobot davrida 
tarkib  topgan  tarmoqlararo  aloqalarning  strukturasini  kompleks  tahlil  qilish, 
shuningdek  rejali  tarmoqlararo  balanslar  uchun  dastlabki    axborotni  tayyorlash 
uchun ishlab chiqiladi. 
Tarmoqlararo  rejali  balans  rejalashtirishning  dastlabki  va  yakuniy 
bosqichlarida  qo’llaniladi.  Rejali  balansdan  xalq  xo’jaligini  rivojlantirishda 
moddiy  ishlab  chiqarishning  eng  ratsional  strukturasini  topish  muammosini 
yechish maqsadida foydalanish alohida ahamiyat kasb etadi. 
O’z  navbatida  tarmoqlararo  balans  modellari  vaqt  omili  bo’yicha  statistik 
va  dinamik  modellarga  bo’linadi.  Rejalashtirish  amaliyotida  natura,  qiymat  va 
natura-qiymat balanslari ham qo’llaniladi. 
Hozirgi  paytda  respublika,  regional  va  yirik  iqtisodiy  rayonlar,  hududiy 
ishlab chiqarish majmuilari bo’yicha tarmoqlararo balanslarni tuzish juda aktual 
masala hisoblanadi. 
 

 
106 
10.2 Tarmoqlararo hisobot balansining statistik modellari 
Tarmoqlararo  balans  modeli  asosini  ishlab  chiqarilgan  mahsulotlarni 
taqsimlash  balanslari  tashkil  etadi.  Bu  o’rinda  shuni  ta’kidlash  kerakki,  jami 
ishlab  chiqarilgan  mahsulotning  bir  qismi  tarmoqlararo  ishlab  chiqarishni  joriy 
harajatlariga  sarflansa,  boshqa  bir  qismi  ishlab  chiqarish  sferasiga  qaytib 
tushmaydi,  biroq  iste’molga  va  jamg’armaga  sarflanadi.  Busiz  esa 
kengaytirilgan takror ishlab chiqarishni tasavvur etib ham bo’lmaydi. 
Aytaylik, jami ijtimoiy mahsulot aniq bir davr-vaqtda (1 yil, 5 yil, chorak, 
ya’ni  bir  ishlab  chiqarish  siklida)  xalq  xo’jaligining  n-ta  tarmog’ida  ishlab 
chiqarilsin. 
Faraz  qilaylik  X
1
,X
2
,….Xn  lar  1-chi,  2-chi,….n-chi  tarmoqlardagi  jami 
ishlab  chiqarilgan  mahsulotlarni  hajmini  bildirsin  (natura  ko’rinishida).  Mos 
ravishda  Xik-  orqali  i  tarmoqning  k-chi  tarmoqga  yuborishi  kerak  bo’lgan 
mahsulot miqdorini (hajmini) belgilaymiz. 
Shuningdek  Ui  orqali  i-  tarmoqning  ishlab  chiqarish  sferasiga  kelib 
tushmaydigan,  biroq  iste’mol  va  jamg’armaga  ketadigan  mahsulot  miqdorini 
belgilaymiz  va  uni,  ya’ni  Ui  –ni  i-chi  tarmoqni  oxirgi  (yakuniy)  mahsuloti  deb 
ataymiz. 
O’z  navbatida  yukorida  aytilganlardan  kelib  chiqqan  holda  ijtimoiy 
mahsulotni  ishlab  chiqarish  va  taqsimlash  jarayonini  qo’yidagi  jadval  orqali 
ifodalash mumkin: 
 
Ishlab 
chiqa-
ruvchi 
tarmoq
lar 
Ishlab 
chiqa-
rilgan 
mahsu
-lot 
hajmi 
Iste’molchi tarmoqlar 
Oxirgi 
mahsu
-lot 
 
 
1 
2 
… 
k 
… 
n 
 
1 
X
1 
X
11 
X
12 
… 
X
1k 
… 
X
1n 
U
1 
2 
X
2 
X
21 
X
22 
… 
X
2k 
… 
X
2n 
U
2 
: 
: 
: 
: 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
I 
Xi
 
Xi
1 
Xi
2 
… 
Xik
 
… 
Xin
 
Ui
 
: 
: 
: 
: 
… 
… 
… 
… 
… 
.. 
... 
n 
Xn
 
Xn
1 
Xn
2 
… 
Xnk
 
… 
Xnn
 
Un
 
 
Ushbu  jadvalga  xalq  xo’jaligini  tarmoqlararo  balansining  modeli  yoki 
iqtisodiy  haritasi  deb  aytish  mumkin  yoki  ushbu  tarmoqlararo  balans  jadvalini 
matematik tilda qo’yidagi tenglamalar sistemasi ko’rinishida ifodalash mumkin: 
 

 
107 
   
 












































































































n
nn
nk
n
n
n
i
in
ik
i
i
i
n
k
n
k
Y
X
X
X
X
X
Y
X
X
X
X
X
Y
X
X
X
X
X
Y
X
X
X
X
X
2
1
2
1
2
2
2
22
21
2
1
1
1
12
11
1
   
 
 
(1)
 
  Yoki qisqacha 
 





n
k
i
ik
i
n
i
Y
X
X
1
)
,
1
(
,
   
 
 
 
(2) 
(1)  va (2) tenglamalar sistemasi tarmoqlararo  mahsulot  ishlab chiqarish  va 
taqsimlash  balansining  iqtisodiy-matematik  modeli  deyiladi.  Bu  modellarda 
tenglamalar  soni  ishlab  chiqaruvchi  tarmoqlar  soniga  to’g’ri  keladi.  O’z 
navbatida  ushbu  tenglamalar  ixtiyoriy  Xi  tarmoqda  jami  ishlab  chiqarilgan 
mahsulot  moddiy  ishlab  chiqarish  sohasidagi  tarmoqlar  iste’mol  qiladigan 
mahsulotlar yig’indisi (Xik) va ishlab chiqarish sferasiga qaytib tushmaydigan 
(kelmaydigan)  yakuniy  mahsulot  (Ui)  larni  yig’indisidan  tashkil  etilishini 
bildiradi.  Shuningdek  ijtimoiy  mahsulotni  ishlab  chiqarish  va  taqsimlashning 
tarmoqlararo  balansi  natura  yoki  qiymat  shaklida  ham  ifodalanishi,  ishlab 
chiqarilishi-tuzilishi mumkin. 
Qiymatli balansda X
1
, X
2
,…Xn- o’zgaruvchilar 1, 2, … n- chi tarmoqlarni 
yalpi mahsuloti hajmining qiymatli ifodasini, shaklini anglatadi. 
Xik-  k-  chi  tarmoqda  mahsulot  ishlab  chiqarish  uchun  i-  chi  tarmoqdan 
sarflanadigan harajat miqdori (hajmini) ni bildiradi. 
Ui-  i-  chi  tarmoqning  yakuniy  mahsuloti  (hajmini)  qiymatli  ifodasini 
bildiradi. 
Naturali  balansda  X
1
,  X
2
,…Xn-  o’zgaruvchilar  n-  turdagi  ishlab 
chiqarilgan  yalpi  mahsulotlarni  hajmini  (miqdorini)  natura  birliklarida 
ifodalaydi. 
Xik-  k-  chi  tarmoqda  bir  birlik  mahsulot  ishlab  chiqarish  uchun  i-  chi 
tarmoqdan yuborilishi kerak bo’lgan mahsulot miqdorini bildiradi. 
Ui- i- chi tarmoqning yakuniy mahsulot miqdorini bildiradi. 
Tarmoqlararo  qiymatli  va  naturali  balanslar  (1)  va  (2)  matematik 
tenglamalar sistemasi shaklida bir xil ko’rinishda ifodalanadi va har ikkala holda 
ham jami mahsulotning hajmi Xi ikkiga, ya’ni oraliq mahsulot - ishlab chiqarish 
ehtiyojlarining  hajmi  Xi
1
  +  Xi
2
  +  ….  +  Xin  hamda  noishlab  chiqarishga 
mo’ljallangan  hajmi  Ui  -    yakuniy  mahsulotlarga  bo’linadi  va  ularni  ulushi 
qiymatli balansning turli tarmoqlar uchun va naturali balansni turli mahsulotlari 
uchun bir xil bo’lmaydi. Biroq qiymatli balans tenglamalarini mahsulot iste’moli 
ko’rinishida qo’yidagicha 
   
 
 
)
,
1
(
,
1
n
i
M
V
X
X
n
k
i
i
ik
i






 
 
 
 
(3) 
ifodalash mumkin. 

 
108 
Bu  yerda              Xik  –  k-  chi  iste’molchi  tarmoqning  moddiy  harajatlarini 
bildiradi;  Vi  +  Mi  -    uning  sof  mahsulotini;  Vi  -  mehnatga  to’lanadigan 
summasini; Mi
 
-  sof daromad-foydani bildiradi. 
O’z navbatida (1) tenglamalar sistemasida har bir qo’shiluvchi Xik larni Xi 
ga bo’lamiz va ko’paytiramiz, hamda 
      
 
 
 
    
ik
k
ik
a
X
X

   
 
 
                     (4) 
deb  belgilab,  uning  shaklini  o’zgartiramiz.  Natijada  aik  koeffitsiyentlarni 
qiymatlari  va  U
1
,  U
2
,…,Un  (yoki  X
1
,  X
2
,….Xn)  miqdorlari  berilgan  n- 
noma’lum  n-  ta  tenglamalarni  sistemasini  odatdagi  matematik  ko’rinishiga  ega 
bo’lamiz. 































n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
Y
X
a
X
a
X
a
X
Y
X
a
X
a
X
a
X
Y
X
a
X
a
X
a
X
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
2
1
1
2
12
1
11
1














 
 
 
(5) 
bu  yerda  aik-  miqdor  to’g’ri  harajatlar  koeffitsiyentlari  deyiladi  hamda  barcha 
tarmoqlar uchun qo’yidagi matritsa ko’rinishida bo’ladi: 
   
 
 
 















nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11



 
 
 
 
 
(6) 
to’g’ri harajatlar koeffitsiyentlari naturali balansda bir birlik K mahsulotni ishlab 
chiqarish  uchun  i  mahsulot  sarfining  texnologik  normasini  bildiradi.  Qiymatli 
balansda esa aik- koeffitsiyentlar k- tarmoqni yalpi mahsulotni har bir sumiga i- 
tarmoqni mos ravishda sarfi - harajatlarini bildiradi. 
Tarmoqlararo  balans  modelida  to’g’ri  harajatlar  koeffitsiyentlari  aik  ni 
doimiy  deb  hisoblanadi.  Ushbu  farazimiz    xo’jalikda  to’plangan  o’zaro 
aloqalarni  o’rganish  va  tahlil  qilishdan  tarmoqni  proporsional  taraqqiyotini 
prognoz  qilish  (taxminlashtirish)  va  ularni  o’sish  suratlarini  rejalashtirish 
imkonini beradi. O’z navbatida (4) dan  
Xik = aikXk 
 
 
 
 
 
(7)  
ekanligini  tushunish  qiyin  emas,  ya’ni  i-  tarmoqning  k-  tarmoq  uchun 
yuboradigan  mahsulotining  miqdori  (hajmi),  i-  chi  tarmoqning  k-  chi  tarmoqda 
bir  birlik  mahsulot  ishlab  chiqarish  uchun  sarflanadigan  mahsulotni  hajmi-
miqdorini,  k-  chi  tarmoqda  ishlab  chiqariladigan  mahsulotning  soniga 
ko’paytmasiga teng bo’ladi. 
O’z  navbatida  (5)  tenglamalar  sistemasiga  (7)  ni  qo’yib  barcha  noma’lum 
hadlarni  tenglikni  chap  tomoniga  o’tkazib  tegishli  shakl  almashtirish 
(soddalashtirish)  lardan  so’ng  tarmoqlararo  balansning  yangi  tenglamalar 
sistemasiga ega bo’lamiz: 
   
 
 

 
109 
 













































































n
n
nn
n
n
n
n
n
n
Y
X
a
X
a
X
a
Y
X
a
X
a
X
a
Y
X
a
X
a
X
a
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
 
 
 (8) 
  Ushbu tarmoqlararo balansning tenglamalar sistemasi qo’yidagi matritsali 
tenglamaga teng kuchliligi ham tushunarli ekanligini hisobga olsak, u holda 








































































n
n
nn
n
n
n
n
Y
Y
Y
X
X
X
a
a
a
a
a
a
a
a
a






2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
.
.
.
1
...
0
0
.
...
.
.
0
...
1
0
0
...
0
1
 
 
 
(9) 
ga, yoki 
   
 
 
 
 
(E – A) 
.
 X = U 
 
         (10) 
tarmoqlararo balansning matritsali modeliga ega bo’lamiz. 
Bu yerda: 
E- birlik matritsasi 
   
 
A- tarmoqlar bo’yicha to’g’ri harajatlar  
 
 
 
 
 
     koeffitsiyentlarining matritsasi 
   
X- tarmoqlar bo’yicha ishlab chiqarishning noma’lum hajmi  
 
 
     matritsasi 
   
U- tarmoqlar bo’yicha berilgan yakuniy mahsulot xajmi   
 
                 matritsasi 
 
O’z  navbatida  (9),  (10)  tarmoqlararo  balans  modellari  yordamida 
amaliyotda qo’yidagi muammolarni yechish mumkin: 
1. 
Berilgan  yalpi  mahsulot  hajmi  X
1
,X
2
,….Xn  lar  bo’yicha 
tarmoqlarni  yakuniy  mahsulot  hajmi  U
1
,U
2
,….Un  larni  aniqlash,  ya’ni 
matritsa shaklida: 
 
 U=(Ye – A) X 
2. 
Berilgan  to’g’ri  harajatlar  koeffitsiyentlari  matritsasi  A-  bo’yicha 
to’la harajatlar koeffitsiyentlarini matritsasi R-ni aniqlash. Qaysiki A- ni 
elementlari 
tarmoqlarni 
istiqbolini 
rejalashtirishning 
muhim 
ko’rsatkichlari sifatida xizmat qiladi. Matritsa ko’rinishida  
 
 
 
A
E
E
A
E
P




1
)
(
 
3.Berilgan 
yakuniy 
mahsulot 
hajmi 
U
1
,U
2
,….Un 
lar 
bo’yicha 
tarmoqlarning yalpi mahsulot hajmlari X
1
,X
2
,….Xn larni aniqlash. Matritsa 
ko’rinishida  
X=(Ye – A)
-1
 
.
 U = R 
.
 U 
4.Tarmoqlar  bo’yicha  berilgan  n-  ta  yalpi  va  yakuniy  mahsulotlarni  
X
1
,U
2
,X
3
,U
4
,….Xn
-1
,Un  xajmlari  bo’yicha  qolgan  U
1
,X
2
,U
3
,X
4
,….Un
-1
Xn 
larni xajmlarini aniklash. 
 
10.3. Tarmoklararo rejali balansning dinamik modeli 
Tarmoqlararo  balansning  dinamik  modellari  statistik  modellardan  farqli 
ravishda  iqtisodni  ma’lum  bir  davrdagi  holatini  aks  ettirib  qolmasdan  balki 

 
110 
uning rivojlanish jarayonini ifodalash, iqtisodning oldingi va keyingi bosqichlari 
bilan  bog’lanishini  belgilab  berish  hamda  iqtisodiy  matematik  usullarni  ishlab 
chiqarishning real-aniq shartlariga  yaqinlashtirish kabi  maqsadlar  uchun  xizmat 
qiladi. 
Dinamik modelda ishlab chiqarishning kapital mablag’lari statistik modelni 
tarkibidagi  yakuniy  mahsulot  qismidan  ajratiladi  va  ularni  ishlab  chiqarish 
hajmini o’sishiga-ortishiga ta’siri va tuzilishini tekshiriladi. 
Kapital  mablag’lar  va  mahsulotni  ko’payish  miqdorlari  orasidagi 
bog’lanishlar  dinamik  tenglamalar  sistemasini  qo’rishning  asosi  bo’lib 
hisoblanadi.  O’z  navbatida  dinamik  tenglamalar  sistemasini  yechish  esa  ishlab 
chiqarish  darajasini  aniqlashga  olib  keladi.  Biroq  statistik  modeldan  farqli 
ravishda  dinamik  variantda  ishlab  chiqarishning  izlanayotgan  (topiladigan) 
darajasi oldingi davrdagi ishlab chiqarish hajmiga (darajasiga) bog’liq bo’ladi. 
Tarmoqlararo  mahsulot  ishlab  chiqarish  va  uning  taqsimoti  balansining 
dinamik modeli jadval ko’rinishida qo’yidagicha ifodalanadi: 
 
Ishlab 
chiqaruv-
chi tar-
moqlar 
Tarmoqlararo joriy 
harajatlar oqimi 
Tarmoqlararo ishlab 
chiqarishning kapital 
mablag’lar oqimi (fondlarning 
o’sishi, ko’payishi) 
Yaku-
niy 
mahsul
ot 
 
Yalpi 
mahsul
ot 
 
 
1       2 …. K ….n 
1         2  …….  K ….  N 
Zi 
Xi 
1 
X
11    
X
12