Т. А. Сливина математическая логика и теория алгоритмов

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. Предметом математической логики является изучение законов человеческого мышления. Основным понятием математической логики является понятие высказывания.

Высказыванием называется всякое повествовательное предложение, о котором мы можем сказать – истинно оно или ложно, т. е. логическими значениями высказывания являются истина или ложь.
Примеры высказываний:
1) г. Красноярск расположен на р. Енисей,
2) Число 10 делится на 2,
3) Число 10 делится на 5,
4) Париж – столица Англии.
5) Карась – это не рыба.
Высказывания 1), 2) и 3) принимают значения истина, высказывания 4) и 5) – ложь.
В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний.
Очевидно, что не каждое предложение может быть высказыванием.
Пример: «Да здравствуют спортсмены нашей страны!» – это не высказывание, оно не может принять значение истина или ложь.
Высказывания, повествующие только об одном объекте, и рассматривающие только один аспект этого объекта, можно назвать простыми. Простые высказывания обозначаются пропозициональными переменными, принимающими только два значения – «истина» или «ложь» (английский термин proposition как раз и означает «высказывание», «предложение»).
В дальнейшем высказывания условимся обозначать малыми буквами латинского алфавита a, b, c, d, …, x, y, z. А их значения «и» и «л» или «1» и «0». Например, если высказывание а – истинно, то будем писать а = 1, а если ложно, то а = 0.
Из простых высказываний с помощью логических связок «и», «или», «не», «если …, то», «тогда и только тогда» можно получать новые высказывания, которые называют составными или сложными. Например из высказываний 2) и 3) можно получить сложное высказывание «число 10 делится на 2 и на 5».