Styuart teoremasi va uning tadbiqi

1-misol.Uchburchak bissektrisasining uzunligi topilsin.
Yechish:
ABC uchburchakda AA¹=la bo'lsin (26-rasm). BA¹:A¹C=c:b ni e'tiborga olib, BA¹ va A¹C kesmalarning uzunligini topamiz.
BA¹ + A¹C=a ekanini e'tiborga olsak,quyidagi tengliklar hosil bo'ladi :


So'ng, Styuart teoremasiga binoan :
ab²c abc² ac ab la a = - 1- - a
b + c b + c b + c b + c
tenglikga kelamiz.Tenglikning o'ntomonini umumiy maxraj berib soddalashtirsak


englik kelib chiqadi. Bu yerda a+b+c=2p, b+c-a=2(p-a) belgilash kiritib o'rniga qo'ysak quydagi tengliklar hosil bo'ladi:


₂ 4bcp(p — a) ^{la =} (b + c)²


/bcpCp^a).
b + c

2-misol.Uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi bilan uchburchak og'irlik markazi orasidagi masofa topilsin.
Yechish:
ABC uchburchakda OA=OB=R, BC tomonining o'rta nuqtasi D va izlangan masofa OG (27-
rasm) bo'lsin. OD kesma BC tomoni o'rta perpendikulyari ODB uchburchak to'gri
a²
burchakli.Pifagor teoremasiga ko'ra 0 D ² = R² — — va AD=m_a desak. Uchburchak AOD da Stuart teoremasiga ko'ra quydagi tenglikga kelamiz.
(*)
1 2
G nuqat ABC uchburchakning medianalari kesishish nuqtasi bo'lganidan DG= ■ m_ava AG= (**) tenliklar o'rinli.(*) va (**) tengliklarga ko'ra
_{7 7} 1 f ₇ a²\ 2 1 2


2 ( b² + c²) - a ²
4
(R — ^:)'^'ma— ma---m_a- -■ ma
englik o'rinli bundan :0G² = -R² + ²( R² — —) — ²m^ = -R² + ² ( R² — —)
° 3 3 \ 4 / 9 ^a 3 3 \ 4/9
/?² — ^{a +b +c} demak 9
79 R² — ( a ² + b ² + c² ) .
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati:
1.Obid Karimiy.“Planimetriyadan hissoblashga va isbotlashga doir tanlangan masalalar” ,“O'qtuvchi nashriyoti”, “Toshkent” 1965 yil.

TofflkeHT Man | 2020. 17-1-^ucm