Stiven Xoking inson irodasiga qo‘yilgan haykal

Algebra, ideal va Nyoter halqalari haqida ikki og‘iz
Emmi Nyoter ilmiy faoliyatining katta qismi algebraik strukturalar – halqalar va ideallarga bag‘ishlangan. Nyoter nima sababdan bu mavzularga shu qadar jiddiy e’tibor qaratgan ekan?
Matematiklar ish olib boradigan ko‘plab obyektlar aslida halqalardir: masalan, butun sonlar to‘plami ℤ va uning keyingi kengayib borishi - ℚ, ℝ va ℂ lar ham halqalardir. Shuningdek, koeffitsiyentlari yuqorida qayd etib o‘tilgan halqalardan iborat bir o‘zgaruvchili ℤ[X], ℚ[X], ℝ[X], va ℂ[X] ko‘phadlar ham halqalar sanaladi. Shunga o‘xshash, bir necha o‘zgaruvchilarning ko‘phadlari ℤ[X₁, X₁, …, X_n ], ℚ[X₁, X₁, …, X_n ], ℝ [X₁, X₁, …, X_n ], va ℂ[X₁, X₁, …, X_n ] lar ham halqalardir. Bundan tashqari, tutash qatorlar va yana boshqa ko‘plab matematik obyektlarni halqalar sifatida qarash mumkin.
Lekin, ideallar nima va ular nima sababdan bunday ajoyib nomga ega bo‘lishgan? Keling, shu o‘rinda matematika tarixiga kichik bir ekskursiya uyushtiramiz. Misol tariqasida kvadratik butun son ℤ[√− ⁵] yoki, shunga o‘xshash bo‘lgan, ℤ[i√− ⁵] ni ko‘rib chiqamiz. Bu: a+b ko‘rinishdagi sonlar to‘plamidir va bu o‘rinda a va b – butun sonlar bo‘ladi. Boshqacha aytganda:

ℤ[√− ⁵] bu – halqadir. Lekin, bu o‘rinda, agar biz matematika tili bilan aytsak, «ta’qiqlangan hudud»ga qadam bosmoqdamiz. Biz bo‘linishning standart xossalariga ko‘nikib qolganmiz va boz ustiga, sonning umumiy ko‘paytuvchilari odatda ushbu son uchun yagona umumiy ko‘paytuvchilar bo‘lishadi. Masalan, 21 sonini qaraydigan bo‘lsak: 21=3∙7 umumiy ko‘paytuvchilarga ega bo‘ladi va ular 21 uchun yagonadirlar. Ya'ni, 21 ni faqat 3 va 7 ga bo‘lish mumkin xolos. Ushbu tasdiq arifmetikaning asosiy teoremasidan kelib chiqadi: ℤ to‘plamda sonni oddiy ko‘paytuvchilarga ajratilsa, ular mazkur son uchun yagona bo‘ladi. ℤ [√− ⁵] to‘plamda esa ushbu tasdiq o‘z kuchini yo‘qotadi. Bu o‘rinda biz, 21 ni oddiy ko‘paytuvchilarga ikki xil yo‘l bilan ajratishimiz mumkin bo‘ladi:
3·7=(4+√−5) (4−√−5)=21
3∙7=4+-54--5=21
Ushbu to‘plamda sonni oddiy ko‘paytuvchilarga ajratish endilikda yagonalik xossasiga ega bo‘lmaydi. Ya'ni, uning ko‘paytuvchilari faqat bitta juftlikdan iborat bo‘lmaydi. Ushbu g‘alati xulosaga birinchi bo‘lib Ernst Kummer (1810-1893) kelgan edi. Bir qarashda unchalik ham muhim bo‘lmagan va atiga bir satr yozuv bilan ifodalanadigan ushbu tasdiq, XIX asr algebrachilari uchun Ferma teoremasini isbotlash yo‘lida jiddiy g‘ov bo‘lgan va ko‘plab boshqa noqulayliklar paydo qilgan edi.
Vaziyatga oydinlik kiritish va muammoga qandaydir yo‘sinda yechim topish maqsadida Kummer ideal sonlar tushunchasini fanga joriy qildi. Biroq, Kummerning ideal sonlari o‘zi o‘ylagandek foydali bo‘lib chiqmadi. Chunki ular ℤ[√− ⁵] ga emas, balki, boshqa, yanada katta halqaga tegishli edi.
Aslini olganda, Kummer ideallarini son ham deb bo‘lmaydi. Ularni bugungi kunda biz o‘zaro ekvivalent bo‘lgan sonlar to‘plami deb nomlagan bo‘lar edik. O‘sha zamon matematiklari uchun hozirgidek umumqabul qilingan faktor-to‘plam va gommomorfizm tushunchalari ma’lum emas edi. Ideallar olamiga qandaydir mantiq va tartibni faqat Rixard Dedekind (1831-1916) olib kirgan. Uning ortidan esa, boshqa algebraistlar ham ergashishgan va ideallar bo‘yicha tadqiqotlarni quloch yozdirib yuborishgan. Ideallar matematikasi sohasida shunday avlod vakillaridan biri – Emmi Nyoter edi.
Ideallarning yana bir ajoyib xususiyati mavjud. Bu o‘rinda ideallarning zanjirlari haqida gap bormoqda. Biz Nyoterning bu borada bajargan ishlarini bayon qilib o‘tirmaymiz va mavhum tushunchalarni izohlashga harakat qilmaymiz. Buning o‘rniga juda oddiy bir misol keltirish bilan cheklanamiz: ideallar – butun sonlar bo‘lmish ℤ halqalaridir.
Ideallar olamida arifmetikaning asosiy teoremasi hukmronlik qiladi. Ideal aslida butun sonlar sohasini o‘zida namoyon qiladi, ya'ni, uni «yaxshi halqa» deyish mumkin. bunda, haqidagi hamma sonlar uchun sonni oddiy ko‘paytuvchilarga ajratishda yagonalik saqlanadi va bunday izchillikni hech narsa buzmaydi. Bunda n ga karrali bo‘lgan butun sonlardan iborat nℤ to‘plam ideallarni tashkil qiladi. Bunday ideallarning miqdori, xuddi sonlarning o‘zi singari cheksiz bo‘ladi. ideallarning yig‘indisi va ko‘paytmasi esa juda oson topilishi mumkin: