So’z boshi o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi

6-ma’ruza. Gursa masalasi. Ketma-ket yaqinlashish usuli.Riman usuli
Reja

1. 
   Gursa masalasining qo’yilishi
   
2. 
   Yechimning mavjudligi va yagonaligi.
   
3. 
   Umumiy chiziqli giperbolik tipdagi tenglama uchun Gursa masalasi.
   
4. 
   Ketma-ket yaqinlashish usuli.
   
5. 
   Yechimning mavjudligi va yagonaligi.
   
6. 
   Qo`shma differensial operatorlar.
   
7. 
   Grin formulasi.
   
8. 
   Umumiy giperbolik tipdagi chiziqli tenglama uchun boshlangich shartli masala va uni Riman usulida yechish.
   
9. 
   O’zgarmas koeffisiyentli tenglamalar. Tor tebranish tenglamasi uchun
   

boshlang’ich shartli masalani Riman usulida yechish.

10. 
    O`zgarmas koeffitsiyentli giperbolik tipdagi chiziqli tenglama uchun boshlangich shartli masala va uni Riman funksiyasi orqali yechimning ko`rinishi.
    

Tayanch so’z va iboralar.

1. Chiziqli giperbolik tipdagi tenglamalar
2. Gursa masalasi.
3.Ketma-ket yaqinlashish usuli.
4. Qo`shma differensial operatorlar.
5. Grin formulasi.
6.Tor tebranish tenglamasi uchun boshlang`ich shartli masala.
7. Riman usuli.
8. Umumiy giperbolik tipdagi chiziqli tenglama uchun boshlangich shartli masala.
9. Riman funksiyasi.
10. Tor tebranish tenglamasi uchun boshlang`ich shartli masala.
11. Nolinchi tartibli Bessel funksiyasi.

1.Qo`shimcha shartlar yoki x=0, t-0 to`g`ri chiziqlarda, yoki tekislikdagi biror egri chiziqlarda berilishi mumkin. Masalan, chegaraviy shartlarni biror C<sub>1</sub>(x=f<sub>1</sub>(t)) egri chiziqda berish mumkin, hamda bunday masala yechimga ega bo`lishi talab etiladi.

Chegarasi qo`zg`aluvchan trubada gaz tebranish prosessini ko`rib chiqamiz. C<sub>1</sub>(x=f<sub>1</sub>(t)) egri chiziq t-0 chziqdan harakteristika bilan ajratigan bo`lishi kerak (rasmga qarang).


t
C₁:x=f₁(t)
x=at

0 x
Agar biror nuqtada C₁ chiziq x=at harakteristikadan pastda yotsa, u holda U(x,t) funksiyaning qiymati boshlangich shartlar bilan to`la aniqlanadi va ihtiyoriy berish mumkin bo`lmaydi.
Boshlangich shartlarni faqatgina t=0 da emas, balki biror C₂(t=f₂(x) chiziqda ham berish mumkin (| .
Biz quyda qiymatlar harakteristikalarda berilgan yechimni aniqlovchi masalani o`rganamiz. Bu chegaraviy masalani Gursa masalasi deyiladi:
U<sub>xy</sub>=f(x,y) (1)
U(x,0)=φ<sub>1</sub>(x), U(0,y)=φ<sub>2</sub>(y)
X=0 va y=0 (1) tenglamaning haakteristikalari bo`lib, bu chiziqda qo`shimcha shartlar berilgan. φ<sub>1</sub>(0)= φ<sub>2</sub>(0) shartni qanoatlantirsin. (1) tanglamani x va y bo`yicha ketma-ket integrallasak,
U_y(x,y)=U_y(0,y)+
U(x,y)=U(x,0)=U(o,y)=U(0,0)+ 
Yoki
U(x,y)= φ₁(x)+φ₂(y)-φ₂(0)+ (2)
Endi quyidagi chiziqli giperbolik tipdagi tenglama
U_xy=a(x,y)U_x+b(x,y)U_y+C(x,y)U+f(x,y) (3)
uchun x=0, y=0 harakteristikalarda qo`shimcha shartlar
U(x,0)=φ₁(x), U(0,y)= φ₂(x)
berilgan holda yechimni topamiz. Bu yerda φ₁(x),va φ₂(x) funksiyalardifferensiallanuvchi va φ₁(0)=φ₂(0). (3) formuladan
U(x,y)= (4)

Demak, U(x,y) funksiya (4) integro-differensial tenglamani qanoatlantrar ekan. Bu tenglamaning yechimini ketma-ket taqinlashish usuli bilantopamiz. Boshlangich yaqinlashishsifatida U₀(x,y)=0 funksiyani olamiz:
 (5)
Bu yerdan,
 (6)

Ushbu

ketma-ketliklarni tekis yaqinlashuvchiligini isbotlaymiz.
Buning uchun quyidagi ayrimani qaraymiz:



M-a(x,y),b(x,y),c(x,y)-koeffitsentlarining absolyut qiymatlarining yuqori chegarasini va H-x₀ ning Z_ox, Z_oy –hosilalarining absolyut qiymatlari bo`yicha yuqori chegarasi bo`lsin:
|Z_o|Z_n,Z_nx, Z_ny funksiyalar uchun majorant baholarni keltirib chiqaramiz. Ravshanki,
|Z₁|<3HMxy<3HM

Faraz qilaylik,quydagi rekurent baholar o`rinli bo`lsin.
|Z_n|<3HMⁿK^n-1 ,

bu yerda K>0- biror o`zgarmas son (K-ning qiymatini keyinroq aniqlaymiz). Bu baholarni va (n+1)-yaqinlashish formulasiga ko`ra quydagi tensizliklarni hosil qilamiz: 



 <
<

bu yerda k=2L+2. 
Bu tengliklarning o`ng tomonlarida e<sup>1lnm</sup> yoyilmasining umumiy hadlari turibdi. Bu baholardan ko`rinadiki,ushbu funksiyalar ketma-ketligi tekis yaqinlashuvchidir;
U_n=U₀+Z₁+…+Z_n-1
 ,  ;

(5) va (6) formulalarda integral belgisi ostida limitga o`tsak,

 (7)

Bu yerda V=U_x , W=U_y kelib chiqadi va demak, U(x,y) funksiya quydagi integro-differensial tenglamani qanoatlantiradi:

Bundan tashqari, U(x,y) (3) differensial tenglamani qanoatlantiradi, bu esa (4) ni x va y bo`yicha bevosita differensiallesh bilan tekshiriladi.
Endi qaralayotgan masala yechimining yagonaligini isbotlaymiz.faraz qilaylik, 2ta U₁(x,y) va U₂(x,y) yechimlar mavjud ushbu integro-differensial tenglamani olamiz:

H₁-oraliqqa quydagi U₁U_x+U_y larnihng absolyut qiymatlarining yuqqori chegarasini belgilaylik:
|U|1, |U_x|1, |U_y|< H_{1, }
z_O(x,y) funksiyalar uchun baholarni takrorlab, ushbu tengsizliklarni o`rinli ekanini ko`rsatamiz:

Bu yerdan U(x,y)=0 yoki U₁(x,y)= U₂(x,y)
Shunday qilib, qiymatlari xarakteristikalarda berilgan masalaning yechimi yagona ekan.
Agar a,b,c-koeffisiyentlaro`zgarmas bo`lsa, u holda (3) tenglama U=V almashtirish bilan V_xy+C₁V=1 (8)
ko`rinishga keladi. C<sub>1</sub>≠0bo`lsa, (1) oddiy ko`rinishda tenglama uchun masalaning yechimi ko`rinishi yuqqoridagi usul yordamida hosil qilishi mumkin.

Chegaraviy masalalarining integral ko`rinishini topish uchun yordamchi formulalarni keltirib chiqaramiz.

L[u]=U_xx-U_yy+a(x,y)U_x+b(x,y)U_y+C(x,y)U (1)
(bu yerda a(x,y), b(x,y), c(x,y)-differensiallanuvchi funksiyalar)
-chiziqli differensial operator (giperbolik tipdagi tenglamaga mos) bo`lsin. L[u] ni biror v funksiyaga ko`paytirib, alohida ko`shiluvchilarni quydagi ko`rinishda yozamiz:
VU_xx=(VU_x)_x-V_xU_x =(VU_x)_x-(V_xU)_x+UV_xx
VU_yy=(VU_y)_y-V_yU_y =(VU_y)_y-(V_yU)_y+UV_yy
VU_zz=(VU_z)_z-V_zU_z =(VU_z)_z-(V_zU)_z+UV_zz
Vau_x =(avu)_x-u(av)_x, Vbu_y =(bvu)_y-u(bv)_y, vcu=ucv
bu yerdan
VL[u]= (VU_x)_x (V_xU)_x UV_xx V_yU_y UV_yy (avu)_x u(av)_x (bvu)_y u(bv)_y ucv=uM[v] [vu_x v_xu avu] [ vu_y v_yu bvu],
Vl[u]=uM[v]+ H K, (2)
bu yerda
M[v]=v_xx-v_yy-(av)_x-(bv)_y+cv, (3)
H=vu_x-v_xu+avu=(vu)_x-(2v_x-av)u=-(vu)_x+(2u_x+au)v (4)
H=vu_y-v_yu+bvu=(vu)_y-(2v_y-bv)u=-(vu)_y+(2u_y+bu)v (5)
Ikkita L va M-differensial operatorlar qo`shmadeyiladi,agar vL[u]-uM[v] aurima biror Hva K ifodalarning x va y bo`yicha hususiy hosilalasrining yig`indisidan iborat bo`lsa.
Agar L[u]=M[u] bo`lsa u holda L[u] operator o`ziga qo`shma deyiladi.
G-soha berilgan bol`ib, u ∂G=C-bo`lakli silliq kontur bilan chegaralangan bo`lsin. Quydagi ikki karrali integralni qaraymiz:
 (6)
bu yerda u va v –ihtiyoriy ikki marta differensiallanuvchi funksiyalar (Grin formulasi).
Yechimning integral ko`rinishi. Quydagi masalani yechshda (6) formulani qollaymiz:
Masala. Ushbu
L[u]≡U<sub>xx</sub>=U<sub>xx</sub>+a(x,y)U<sub>x</sub>+b(x,y)U<sub>y</sub>+C(x,y)U=-f(x,y) (7)
giperbolik turdagi chiziqli tenglamaning C-egri chiziqda
U|<sub>C</sub>=φ(x), U<sub>n</sub>|<sub>C</sub>=ψ(x)
boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni toping. (U<sub>n</sub>-Cegri chiziqqa o`tkazilgn normal yo`nalishi bo`lyicha hosila).
C-egri chiziq tenglamasini y=f(x), bu yerda f(x)-differensiallanuvchi funksiya, ko`rinishida berilgan. C-egri chiziqqa shunday shart qo`yamizki, natijada y-x=cost va y+x=const barcha xarakteristikalar ollasi C-chiziqni ko`pi bilan bir marta kessin. Buning uchun |f`(x)|<1
shart bajarilishi kerak. (6) formulani MPQ-egri chiziqni uchburchak uchun qo`llaymiz. MPQ-uchburchak PQ yoy C-egri chiziq va MP, MQ xarakteristikalar bilan chegaralangan.


M_1
M
Q
P
Q
y


0 x
MQ va MPharakteristikalar bo`yicha integrallarni almashtiramiz. Quyidagi tengliklardan

 (ds QM va MP yoy elementi) va (4), (5) formulalarga ko`ra,

huddi shunga o`hshash

bo`ladi. Bu yerdan va (6) formuladan:
(UV)<sub>M</sub>=(UV)<sub>P</sub>+(UV)<sub>Q/2</sub>+ (8)

Bu hosil bol`gan formula ihtiyoriy U va V yetarlicha silliq funksiyalar uchun o`rinli.

Faraz qilaylik, U-yuqoridagi boshlang`ich shartli masalaning yechimi, V-funksiya esa M nuqtaga parameter sifatida bog`liq bo`lib,quydagi shartlarni qanoatlantirsin:

M[V]≡V_ξξ-V_ηη-(aV) _ξ=(bV) _η=0 ∆MPQ=ni ichida (9) va
 , MP xarakteristikada
 , MQ xarakteristikada
V(M)=1.
Xarakteristikalarda berilgan ba ohirgi shartla
 MP da;  MQ da, (9)
bu yerda s_o - s ni M nuqtadagi qiymati. Ma`lumki (9) tenglama va V funksiyaning MP va MQ harakteristikalaridagi qiymatlari uni MPQ sohada to`la aniqlanadi. V-funksiya Riman funksiyasi deyiladi.
Shunday qilib, (8) formuladan (7) tenglamani qanoatlantiruvchi U funksiya uchun quyidagini olamiz:
U(M)=[(UV)_P+(UV)_Q/2 +
 (10)
Bu formula qo`yilgan masalaning yechimi ifodasidir. Bu yerda
  =
Quyidagi tor tebranish tenglamasi uchun boshlangich shartli masalani qaraylik:
U<sub>yy</sub> =U<sub>xx</sub>+f<sub>1</sub>(x,y) (y=at, f<sub>1</sub>=
U(x,0)=φ(x), U<sub>y</sub>=ψ<sub>1</sub>(x) (ψ<sub>1</sub>=  )
(10) formulada PQ yoy y=0 dan iborat. L≡U<sub>xx</sub>-U<sub>yy</sub> operator o`ziga qo`shma, chunki M=L=U<sub>xx</sub>-U<sub>yy</sub>|<sub>a</sub>-0 va b=0 bo`lgani uchun. V|_MP=V|_MQ=1 kelib chiqadi.
PQda dη=0 bo`lgani uchun

P=(x-y,0), Q=Q(x+y,0) bo`lgani uchun, bu yerda x va y M=M(x,y) ni nuqtaning
koordinatalari, va boshlangich shartlarga ko`ra

x va t o`zgaruvchilarga qaytsak,

Ikkinchi misol sifatida o`zgarmas koeffisentli tenglama uchun quydagi boshlangich shartli
masalani ko`rib chiqamiz:
U_xx-U_yy+aU_x+bU_y+cU=0 (a,b,c-o`zgarmas sonlar), (11)
U|<sub>y=0</sub>=φ(x), U<sub>y|y=0</sub>=ψ(x) (12)
(11) tenglamada U=u almashtirish bajarsak, hamda λ=a|2, μ=-b|2 deb olsak
U<sub>xx</sub>-U<sub>yy</sub>+c<sub>1</sub>U=0, c<sub>1</sub>= (13)
hosil bo`ladi. U(x,y) funksiyani boshlangich shartlar va (13) tenglamaga ko`ra aniqlash U(x,y,ξ,η)- Riman funksiyasini ko`rishga keltiriladi.
V- funksiya ushbu shartlarini qanoatlantiradi:
V_xx-V_yy+c₁V=0 (14)
V|_MP=1, V_|MQ=1 (15)

y
x=y M(x,y)

0 P(x-y,0) Q(x+y,0) x
V ni V=V(z) ko`rinishda izlaymiz, bu yerda
 yoki Z<sup>2</sup>= (16)
 bo`lib, shuning uchun V(0)=1.
(14) tenglamaning chap qismi quydagicha almashtiriladi.
V_xx-V_yy+c₁V=V¹(z)( z_xx-z_yy)+c₁V=0.
Z²ifodasini x va y bo`yicha ikki marta differensiallaymiz:
ZZ<sub>x</sub>=z-ξ, ZZ<sub>y</sub>=-(y-η), ZZ<sub>xx</sub>+Z<sup>2</sup><sub>x</sub>=1, ZZ<sub>yy</sub>+Z<sup>2</sup><sub>y</sub>=-1
(15) formuladan topamiz:
Z<sup>2</sup><sub>x</sub> -Z<sup>2</sup><sub>y</sub>=1, Z<sub>xx</sub>=Z<sub>yy</sub>=1|Z
V funksiya uchun tenglama
V``+V`|Z+c₁V=0
korinishda bo`ladi. V(0)=1. Bu tenglamaning yechimini 0chi tartibli Bessel funksiyasidir:
V(z)=I<sub>0</sub>(
yoki
V(x,y,ξ,η)=I<sub>o</sub>(
U(x,y) funksiyani topish uchun Riman usuli yordamida topilgan yechim formulasini olamiz:
U(M)=
PQ(η=0) oraliq bo`yicha integrali hisoblaylik

 boshlangich shartlarga asosan, quydagini hosil qilamiz:
U(x,y)=
Bu yerda U=u va (12`) larga ko`ra
U(x,y)=
(17)

Bu formula yuqoridaqo`yilgan masaning yechimidir. a=0, b=0 bo`lsin. Yani U_xx-U_yy+cU=0
(17) formuladan

 φ

Bu yerda c₁=0 va y=at deb olsak, Dalamber formulasini hosil qilamiz:

Bu formula U_xx- tor tebranish tenglamasining U(x,0)=φ(x), U_t(x,0)=ψ₀(x), ψ₀(x)=a ψ(x)=aU_y(x,o) boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yecvhimdan iborat.