So’z boshi o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi

2- Ma’ruza.
Tenglamalarni kanonik ko’rinishlga keltirish
Reja
1.Kanonik ko’rinishdagi tenglamalar.
2..O’zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglamalar.
Tayanch so’z va iboralar

1. 
   Parabolik, giporbolik, elliptik tipdagi tenglamalar.
   
2. 
   Kanonik ko’rinishdagi tenglamalar.
   
3. 
   O’zgarmas koeffitsientli tenglamalar.
   

1. Ushbu 3 ta holni ko’rib chiqamiz.
bo’lsin. (2) tenglama sohada giperbolik tipga tegishli.
Demak (8₁), (8₂) tenglamalar va ularning yechimlari haqiqiy va xar hil bo’ladi. Ularning umumiy integrallari haqiqiy xarakteristikalar oilasini aniqlaydi.
(2) tenglamada quyidagi almashtirishni bajaramiz.
 (10)
 o’rinli. Shu sababli, tenglamada xosmas almashtirish bajarish natijasida tenglamaning tipi o’zgarmaydi.
(6) da:  bo’ladi. Demak,
(11)
Bu yerda ; (11) – giperbolik tenglamaning kanonik ko`rinishi deyiladi. (11) da quydagi almashtirishni bajaramiz:  (11) dan

kelib chiqadi.
Demak, tenglamani kanonik ko’rinishga keltirish uchun:

1. 
   (8₁), (8₂) sistemani yozamiz;
   
2. 
   (9) yechimni topamiz;
   

3. 
   (10) almashtirishni bajaramiz.
   

 .   bo’lsin. (2) tenglama parabolik tipga tegishli.

Bu holda  η almashtirishni bajaramiz, η - ihtiyoriy φ ga bo’g’liq bo’lmagan funksiya.
O’zgaruvchilarni bunday tanlaganimizda

bo’ladi, chunki = , bu yerdan:

(6) tenglamani  oldidagi koeffitsientga bo’lsak, parabolic tipdagi tenglama uchun kanonik formani olamiz:
.
Agar o’ng tomondagi Φ funksiya  ga bog’liq bo’lmasa, u holda bu tenglama ξ - ga parametr sifatida bog’liq bo’lgan oddiy differensial tenglama bo’ladi.
 bo’lsin. (1) tenglama elliptik tipga tegishli. Bu holda,(8 ) ,(8 ) xarakteristik tenglamalarning o’ng tomonlari kompleks bo’ladi.
(8 ) tenglamaning ko’mpleks integrali bo’lsin, u holda (8 ) qo’shma tenglamaning umumiy integrali bo’ladi. Ko’mpleks o’zgaruvchilarga o’tamiz:
ξ=φ .
Shuning uchun elliptik tipdagi tenglama ham huddi giperbolik tipdagi tenglama ko’rinishiga keladi.
Kompleks o’zgaruvchilardan haqiqiy o’zgaruvchilarga o’tamiz. Buning uchun yangi α, β o’zgaruvchilarni kiritamiz:
α= ,
bu holda

ya’ni 
(6) tenglamani oldidagi koeffitsiyentga bo’lgandan keyin quyidagi ko’rinishga keladi:

Shunday qilib, δ ifodaning ishorasiga qarab , (2) tenglamaning kanonik formalari quyidagicha:
δ (giperpolik tip) yoki ;
δ (elliptik tip) ;
δ (parabolik tip) .
2.O’zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglama berilgan bo’lsin:
. (1 )
Xarakteristik tenglamasi
; .
Demak, ( ) ning xarakteristikalari to’g’ri chiziqdan iborat bo’ladi. ( ) tenglamada

almashtirishni bajaramiz , u holda ( ) tenglama quyidagi sodda ko’rinishga keladi
(elliptik tip) ( )
(giperbolik tip) ( )
yoki

(parabolik tip) ( )
Quyidagi yangi funksiyani (noma’lum) kiritamiz:
, bu yerda λ,μ - o’zgarmas sonlar.
U holda , ,
, ,
.
Bularni ( ) ga qo’yamiz:
.
 λ,μ – ni shunday tanlaymizki ,tenglamani ikkita koeffitsienti, masalan, oldidagi koeffitsientlar nolga teng bo’lsin: λ= Natijada  λv+ 0 ni hosil qilamiz.
Huddi shunga o’hshash (3*), (4*) lar ham quyidagi ko’rinishga keltiriladi.
 (elliptik tip)
 yoki (giperbolik tip)
 (parabolik tip)