(2) da
n
ga 1, 2, 3, …
qiymatlar berib, quyidagi xususiy yig‘indilar ketma-ketligiga ega
bo‘lamiz:
.
Yuqoridagi {
S
n
} ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin.
Ta’rif
.
Agar (2) qatorning xususiy yig‘indilari ketma-ketligi {
} chekli limitga ega
bo‘lsa, ya’ni
mavjud bo‘lsa, u holda bu
qator
yaqinlashuvchi
qator
deyiladi. {
}
ketma-ketlik limiti
(2)
qatorning yig‘indisi
deyiladi.
Bu holda
yoki
kabi yoziladi.
Agar qatorning xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda
uzoqlashuvchi
qator
deyiladi.
Agar
bo‘lsa, u holda
yoki
kabi yozishga kelishamiz.
Shunday qilib, qator yig‘indisi ikkita amal (qo‘shish va limitga o‘tish)
natijasida hosil
qilinadi. Qo‘shish amali xususiy yig‘indilarni, ikkinchi amal esa ularning limitini topish uchun
kerak bo‘ladi.
Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarga misollar ko‘ramiz.
1-
misol
. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:
.
Ye
chish
. Berilgan qatorning
n
-xususiy yig‘indisi
. Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida
qatorning
n
-hadini quyidagi
ko‘rinishda yozib olamiz. U holda
=
=
bo‘ladi. Ravshanki, {
S
n
} ketma-ketlik
limiti mavjud va
ga
teng.
Demak,
berilgan
qator
yaqinlashuvchi
bo‘lib,
uni
=
, yoki
=
kabi yozish mumkin ekan.
2-
misol
. Umumiy hadi
bo‘lgan qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Ye
chish.
Bu qatorning
n
-xususiy yig‘indisi
ga teng.
Xususiy yig‘indilar ketma-ketligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
1, 0, 1, 0, ...
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
,
,
, ...,
...
, ...
n
n
S
a
S
a
a
S
a
a
a
S
a
a
a
a
n
S
n
n
S
lim
n
S
n
n
S
lim
S
1
2
3
n
S
a
a
a
a
1
n
n
S
a
li m
n
n
S
1
n
n
a
S
1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
(
2 )
n n
1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
(
2 )
n
S
n n
1
1
1
1
(
2 )
2
2
n n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
2
4
2
3
5
2
1
1
2
2
n
S
n
n
n
n
1
1
1
1
1
2
2
1
2
n
n
3
4
3
4
1
1
1
1
1 3
2 4
3 5
(
2 )
n n
3
4
1
1
(
2 )
n
n n
1
( 1)
n
n
a
1
1
1
1
1
( 1)
n
n
S
Ma’lumki, bu ketma-ketlik chekli limitga ega emas. Demak,
qator
uzoqlashuvchi ekan.
Qatorga eng sodda misol sifatida geometrik progressiya barcha hadlarining yig‘indisini
olishimiz mumkin:
(3)
bunda
a
0. Bu qator
geometrik qator
deyiladi. Geometrik qator
q
ning
qanday qiymatlarida
yaqinlashuvchi bo‘lishini aniqlaymiz. Buning uchun uning
n-
xususiy yig‘indisini qaraymiz.
Geometrik progressiya birinchi
n
ta hadi yig‘indisining formulasiga ko‘ra (
q
1)
o‘rinli. Agar
q
<1 bo‘lsa, u holda
bo‘lib,
mavjud va
bo‘ladi. Demak,
q
<1 bo‘lganda (3) qator yaqinlashuvchi va
uning yig‘indisi
bo‘ladi.
Agar |
q
|>1 bo‘lsa, u holda
va
=
bo‘ladi. Demak, bu holda
geometrik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar
q
=-1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi
bo‘ladi. Bu holda xususiy yig‘indilar
ketma-ketligi uzoqlashuvchi, demak
(3) qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar
q
=1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi
S
n
=a+a+…a=na
va
=
bo‘ladi.
Shunday qilib, geometrik qator
q
<1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, |
q
|
1 bo‘lganda
uzoqlashuvchi bo‘ladi. Yaqinlashuvchi bo‘lgan holda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya
yig‘indisining formulasi hosil bo‘ladi:
=
2.Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari.
Bizga ushbu
va
qatorlar berilgan va
c
ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘lsin.
Ushbu
qator (1) qatorni
c
o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida hosil qilingan deyiladi.
1
1
( 1)
n
n
2
1
...
...
n
a
a q
a q
a q
1
1
1
n
n
n
a
a q
a
q
S
a
q
q
q
li m
0
n
n
q
li m
n
n
S
li m
n
n
S
lim
1
1
1
n
n
a
q
a
a
q
q
q
1
a
q
li m
n
n
q
li m
n
n
S
(1
( 1) )
2
n
n
a
S
li m
n
n
S
1
a
q
2
1
...
...
n
a
a q
a q
a q
1
2
3
...
... ( 1 )
n
a
a
a
a
1
2
3
...
... ( 2 )
n
b
b
b
b
1
2
3
...
... ( 3 )
n
c a
c a
c a
c a
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
(
)
(
)
(
)
...
(
)
... ( 4 )
(
)
(
)
(
)
...
(
)
... ( 5 )
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
qatorlar esa, mos ravishda (1) va (2) qatorlarning yig‘indisi va ayirmasi deb ataladi.
1-
teorema
. Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig‘indisi
S
ga teng bo‘lsa, u holda (3) qator
ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi
cS
ga teng bo‘ladi.
Isboti
.
(3)
qatorning
n
-xususiy
yig‘indisini
yozib
olamiz:
.
Buni
quyidagicha
yozib
olish
mumkin:
, bu yerda
S
n
(1) qatorning
n
-xususiy yig‘indisi. Teorema
shartiga
ko‘ra
,
u
holda
limit
mavjud
bo‘ladi:
.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorni o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida yana
yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi va uning yig‘indisini topish uchun berilgan qator yig‘indisini
shu songa ko‘paytirish yetarli.
2-
teorema
. Agar (1) va (2) qatorlar yaqinlashuvchi va yig‘indilari mos ravishda
S
va
S’
bo‘lsa, u holda (4) va (5) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va ularning yig‘indilari mos
ravishda
S+S’
va
S-S’
ga teng bo‘ladi.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlarni chekli yig‘indilar kabi qo‘shish va ayirish
mumkin ekan. Bu natijani yaqinlashuvchi qatorlarning algebraik yig‘indilari
uchun ham
umumlashtirish mumkin.
3-
teorema
. Agar yaqinlashuvchi qatorda hadlarning joylashish tartibini o‘zgartirmasdan
ixtiyoriy guruhlash natijasida hosil bo‘lgan qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi avvalgi
qator yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Qatorning qoldig‘i
Ushbu
qator berilgan bo‘lsin. Uning dastlabki
k
ta (tayinlangan son) hadini tashlab yuborish natijasida
yangi qator hosil bo‘ladi:
(2) qator (1)
qatorning qoldig‘i
deyiladi.
3. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
Teorema.
Agar
(1)
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning
a
n
umumiy hadi
n
cheksizga intilganda nolga intiladi,
ya’ni
bo‘ladi.
Isboti.
Faraz
qilaylik, (1) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi
S
ga ya’ni
bo‘lsin. U holda {
S
n
} ketma-ketlikning qism ketma-ketligi
ham yaqinlashuvchi
va
bo‘ladi.
Ravshanki.
bundan
mavjud
va
.
Shunday
qilib,
(1)
qator
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning umumiy hadi nolga intilishi zarur ekan.
Yuqoridagi teoremadan qator uzoqlashishining yetarli sharti kelib chiqadi.
Natija
. Agar (1) qatorning
a
n
umumiy hadi
n
cheksizga intilganda noldan farqli chekli
limitga ega bo‘lsa, yoki limitga ega bo‘lmasa, u holda bu qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1
2
3
...
n
n
c a
c a
c a
c a
1
2
3
(
...
)
n
n
n
c a
a
a
a
c S
li m
n
n
S
S
li m
n
n
lim
lim
lim
n
n
n
n
n
n
c S
c
S
c S
1
2
3
...
... ( 1 )
n
a
a
a
a
1
2
3
...
... ( 2 )
k
k
k
k
n
a
a
a
a
1
2
...
...
n
а
а
а
li m
0
n
n
a
li m
n
n
S
S
1
{
} (
2 )
1>1>1>
Do'stlaringiz bilan baham: