qatorlar esa, mos ravishda (1) va (2) qatorlarning yig‘indisi va ayirmasi deb ataladi.
1-
teorema
. Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig‘indisi
S
ga teng bo‘lsa, u holda (3) qator
ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi
cS
ga teng bo‘ladi.
Isboti
.
(3)
qatorning
n
-xususiy
yig‘indisini
yozib
olamiz:
.
Buni
quyidagicha
yozib
olish
mumkin:
, bu yerda
S
n
(1) qatorning
n
-xususiy yig‘indisi. Teorema
shartiga
ko‘ra
,
u
holda
limit
mavjud
bo‘ladi:
.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorni o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida yana
yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi va uning yig‘indisini topish uchun berilgan qator yig‘indisini
shu songa ko‘paytirish yetarli.
2-
teorema
. Agar (1) va (2) qatorlar yaqinlashuvchi va yig‘indilari mos ravishda
S
va
S’
bo‘lsa, u holda (4) va (5) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va ularning yig‘indilari mos
ravishda
S+S’
va
S-S’
ga teng bo‘ladi.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlarni chekli yig‘indilar kabi qo‘shish va ayirish
mumkin ekan. Bu natijani yaqinlashuvchi qatorlarning algebraik yig‘indilari uchun ham
umumlashtirish mumkin.
3-
teorema
. Agar yaqinlashuvchi qatorda hadlarning joylashish tartibini o‘zgartirmasdan
ixtiyoriy guruhlash natijasida hosil bo‘lgan qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi avvalgi
qator yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Qatorning qoldig‘i
Ushbu
qator berilgan bo‘lsin. Uning dastlabki
k
ta (tayinlangan son) hadini tashlab yuborish natijasida
yangi qator hosil bo‘ladi:
(2) qator (1)
qatorning qoldig‘i
deyiladi.
3. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
Teorema.
Agar
(1)
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning
a
n
umumiy hadi
n
cheksizga intilganda nolga intiladi,
ya’ni
bo‘ladi.
Isboti.
Faraz qilaylik, (1) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi
S
ga ya’ni
bo‘lsin. U holda {
S
n
} ketma-ketlikning qism ketma-ketligi
ham yaqinlashuvchi
va
bo‘ladi.
Ravshanki.
bundan
mavjud
va
.
Shunday
qilib,
(1)
qator
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning umumiy hadi nolga intilishi zarur ekan.
Yuqoridagi teoremadan qator uzoqlashishining yetarli sharti kelib chiqadi.
Natija
. Agar (1) qatorning
a
n
umumiy hadi
n
cheksizga intilganda noldan farqli chekli
limitga ega bo‘lsa, yoki limitga ega bo‘lmasa, u holda bu qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1
2
3
...
n
n
c a
c a
c a
c a
1
2
3
(
...
)
n
n
n
c a
a
a
a
c S
li m
n
n
S
S
li m
n
n
lim
lim
lim
n
n
n
n
n
n
c S
c
S
c S
1
2
3
...
... ( 1 )
n
a
a
a
a
1
2
3
...
... ( 2 )
k
k
k
k
n
a
a
a
a
1
2
...
...
n
а
а
а
li m
0
n
n
a
li m
n
n
S
S
1
{
} (
2 )
1>1>1>
Do'stlaringiz bilan baham: